抽象代數

二元運算

$𝐴$, $𝐵$, $𝐶$ 是集合．稱映射 $\cdot :𝐴\times 𝐵\to 𝐶$ 爲定義在 $𝐴$, $𝐵$ 上的二元映射，一般使用中綴表示法 $𝑎\cdot 𝑏$ 來表示 $\cdot \left(𝑎,𝑏\right)$．特殊地, $𝐴=𝐵=𝐶$ 時，稱爲 $𝐴$ 上的二元算子．對於二元算子 $\cdot$ 和 $\star$，$\forall 𝑎,𝑏,𝑐\in 𝐴$ 如果滿足

• $𝑎\cdot 𝑏=𝑏\cdot 𝑎$，則稱 $\cdot$ 可易．
• $\left(𝑎\cdot 𝑏\right)\cdot 𝑐=𝑎\cdot \left(𝑏\cdot 𝑐\right)$，則稱 $\cdot$ 結合．
• $𝑎\star \left(𝑏\cdot 𝑐\right)=\left(𝑎\star 𝑏\right)\cdot \left(𝑎\star 𝑐\right)$，則稱 $\star$ 對 $\cdot$ 分配．

幺元

對於 $𝐴$ 和其上的二元算子 $\cdot$，若 $\exists {𝑒}_{𝑟}\in 𝐴,\forall 𝑎\in 𝐴$，$𝑎\cdot {𝑒}_{𝑟}=𝑎$ 則稱 ${𝑒}_{𝑟}$ 爲 $\cdot$ 的右幺元．同理, $\exists {𝑒}_{𝑙}\in 𝐴,\forall 𝑎\in 𝐴,{𝑒}_{𝑙}\cdot 𝑎=𝑎$, 則稱 ${𝑒}_{𝑙}$ 爲 $\cdot$ 的左幺元．注意：幺元是針對與運算的，因此一個運算一個幺元

因此，若左幺元和右幺元皆存在，則可稱之爲幺元，記爲 $𝑒$．

> M: 好像左極限右極限，左導數右導數的那種感覺，同時存在且相等才有．

> M: 好像極限的存在唯一性，微分方程 Pichard 存在唯一性，泊松方程的存在唯一性．而且證明思路類似，用反證法

逆元

$𝐴$ 是集合, 若運算 $\cdot$ 存在幺元 $𝑒$．對於 $𝑎\in 𝐴$，若 $\exists {𝑡}_{𝑙}\in 𝐴$ 使得 ${𝑡}_{𝑙}𝑎=𝑒$ 則稱 ${𝑡}_{𝑙}$ 爲 $𝑎$ 的左逆元．且可類似地定義右逆元． > 注意：逆元是針對與元素的，在存在逆元的條件下，一個元素對應一個逆元

若左逆等於右逆，則稱其爲 $𝑎$ 的逆元．

若對於所有 $𝑎\in 𝐴$ 都存在逆元，則稱運算 $\cdot$ 在 $𝐴$ 上可逆．

羣

設集合 $𝐺$ 非空，且在 $𝐺$ 上定義二元算子 $\cdot$．則稱 $\left(𝐺,\cdot \right)$ 爲原羣．$\cdot$ 謂之運算． 如果原羣 $\left(𝐺,\cdot \right)$ 上

• 存在 $𝑒\in 𝐺$ 爲 $\cdot$ 的幺元：$\forall 𝑎\in 𝐺\left(𝑎\cdot 𝑒=𝑒\cdot 𝑎=𝑎\right)$，則稱 $\left(𝐺,\cdot ,𝑒\right)$ 爲幺元羣；

• 運算 $\cdot$ 結合：$\forall 𝑎,𝑏,𝑐\in 𝐺\left(\left(𝑎\cdot 𝑏\right)\cdot 𝑐=𝑎\cdot \left(𝑏\cdot 𝑐\right)\right)$，則稱 $\left(𝐺,\cdot \right)$ 爲半羣；

  • 存在幺元 $𝑒\in 𝐺$，且運算 $\cdot$ 結合，則稱 $\left(𝐺,\cdot ,𝑒\right)$ 爲幺半羣；
  • 若（幺）半羣上運算交易：$\forall 𝑎,𝑏\in 𝐺\left(𝑎\cdot 𝑏=𝑏\cdot 𝑎\right)$，則謂之交易（幺）半羣．

進一步，若在幺半羣 $\left(𝐺,\cdot ,𝑒\right)$ 上 $\cdot$ 可逆，即如果 $\forall 𝑎\in 𝐺,\exists {𝑎}^{-1}\in 𝐺\left(𝑎\cdot {𝑎}^{-1}={𝑎}^{-1}\cdot 𝑎=𝑒\right)$，則稱 $\left(𝐺,\cdot ,𝑒\right)$ 爲羣． 並且定義映射

爲 $\cdot$ 逆映射，如果羣 $\left(𝐺,+,𝑒\right)$ 是加法羣，則記 $+$ 逆映射爲

由命題 AA4 可知，羣中每個元素都存在唯一的逆．

如果羣上的運算交易，則稱之爲交易羣．

置換

設集合 $𝑋$ 非空，令

稱 ${𝑆}_{𝑋}$ 中的元素爲 $𝑋$ 上的置換．置換在定義上是同一個集合上的雙映．直觀上，置換是對元素的重排列，然而置換卻不必依賴於任何序或者指標． 想象一個班的學生換座位，換座位後，之前某人的位置上都坐上了新同學（當然可能是自己）．且每個座位都只能座一人．因此是「換座位」的過程是在學生集合上的雙映．其中自變量是同學，因變量是換到之前誰的座位上． 舉例來說，我們可以用置換圖來表示這個過程．

對於有限勢 $𝑁$ 的集合 $𝑋$ 上的置換 $𝜎\in {𝑆}_{𝑋}$，我們可以用一個 $2\times 𝑁$ 的矩陣表示映射規則．比如对于上面的例子，設 $𝑋=\left\{𝐴,𝐵,𝐶,𝐷,𝐸\right\}$ $𝜎\left(𝐴\right)=𝐶$, $𝜎\left(𝐵\right)=𝐷$, $𝜎\left(𝐶\right)=𝐸$, $𝜎\left(𝐷\right)=𝐴$, $𝜎\left(𝐸\right)=𝐵$ 可以使用如下的矩陣來表示

兩類表示法的置換與列的順序無關．

進一步．如果 $𝜎\in {𝑆}_{\left\{1,\dots ,𝑛\right\}}$，則可使用一列表示法．我們約定第一列爲自然數順序，則只需要寫出第二列，就能表示整個置換．比如

可記作

同構與同態

設 $\left(𝐺,\circ \right)$ 和 $\left(𝐻,⦁\right)$ 是兩個原羣．映射 $𝑓\in {𝐻}^{𝐺}$，如果對於所有 $𝑎,𝑏\in 𝐺$ 有

稱 $𝑓$ 爲從 $\left(𝐺,\circ \right)$ 到 $\left(𝐻,⦁\right)$ 的同態映射．簡稱同態．如果是從 $\left(𝐺,\circ \right)$ 到其自身的同態，則稱爲其上的自同態．

如果同態 $𝑓$ 是雙射，則稱 $𝑓$ 爲同構映射，簡曰同構．$𝑓$ 是自同態則相應稱之爲自同構．若存在同構 $𝑓$，則稱兩個原羣同構．記作 $𝐺\cong 𝐻$．