矩陣論 - Uwni'Space

矩阵分析

如同 $\exp$ 函数在实数与复数域上的定义一样、我们可以定义矩阵的 $\exp$ 函数为

\exp (𝑨) ≔ \lim_{𝑘 \to \infty} (𝑰 + \frac{1}{1!} 𝑨 + \dots + \frac{1}{𝑘!} 𝑨^{𝑘})

(1)

通常來說、直接計算矩陣的 $\exp$ 函數是比較困難的．然而對於一些特殊的矩陣、還是比較容易的、比如、若 $𝑫$ 是一個對角矩陣

𝑫 = (\begin{matrix} 𝜆_{1} \\ ⋱ \\ 𝜆_{𝑛} \end{matrix})

(2)

因 $e^{𝑥}$ 在 $𝗖$ 和 $𝗥$ 上都是解析函數．所以

\exp (𝑫) = (\begin{matrix} \sum_{𝑘 = 0}^{\infty} \frac{𝜆_{1}^{𝑘}}{𝑘!} \\ ⋱ \\ \sum_{𝑘 = 0}^{\infty} \frac{𝜆_{𝑛}^{𝑘}}{𝑘!} \end{matrix}) = (\begin{matrix} e^{𝜆_{1}} \\ ⋱ \\ e^{𝜆_{𝑛}} \end{matrix})

(3)

若 $𝑨$ 是可對角化的、也就是說、 $𝑨 = 𝑷^{- 1} 𝑫 𝑷$ ．我們將會發現

\begin{matrix} \exp (𝑨) & = \exp (𝑷 𝑫 𝑷^{- 1}) \\ = \lim_{𝑘 \to \infty} 𝑰 + \frac{1}{1!} 𝑷 𝑫 𝑷^{- 1} + \dots + \frac{1}{𝑘!} 𝑷 𝑫^{𝑘} 𝑷^{- 1} \\ = \lim_{𝑘 \to \infty} 𝑷 (𝑰 + \frac{1}{1!} 𝑫 + \dots + \frac{1}{𝑘!} 𝑫^{𝑘}) 𝑷^{- 1} \\ = 𝑷 \exp (𝑫) 𝑷^{- 1} \\ = 𝑷 (\begin{matrix} e^{𝜆_{1}} \\ ⋱ \\ e^{𝜆_{𝑛}} \end{matrix}) 𝑷^{- 1} \end{matrix}

(4)

其中 $𝜆_{1}, \dots, 𝜆_{𝑛}$ 是 $𝑨$ 的本徵值．

矩陣的導數

定義對矩陣函數求導即對其每個元素求（偏）導．

\frac{d}{d 𝑡} 𝑨 (𝑡) ≔ (\frac{d}{d 𝑡} 𝑎_{𝑖 𝑗} (𝑡))

(5)

其中 $d \frac{𝑨}{d} 𝑡$ 可寫爲 $𝐷 𝑨$ 或 $𝑨^{'}$ ． $\partial \frac{𝑨}{\partial} 𝑡$ 可寫爲 $\partial_{𝑡} 𝑨$ ．

命題 1.

𝐷 \in ℒ ({(𝕂^{𝑚 \times 𝑛})}^{𝕂})

其中

{(𝕂^{𝑚 \times 𝑛})}^{𝕂}

爲所有

𝕂 \to 𝕂^{𝑚 \times 𝑛}

的函數空間．

常係數微分方程

考慮向量值函數 $𝒚 (𝑡) : 𝕂 \to 𝕂^{𝑛 \times 1}$ 滿足以下微分方程

𝒚^{'} = 𝑨 𝒚

(6)

其中 $𝑨 \in 𝕂^{𝑛 \times 𝑛}$ 是一個常方陣．欲解此方程、我們先尋找再示其唯一的思路來找到完整的解．我們依照經驗、猜測解的形式爲

𝒚 (𝑡) = (\begin{matrix} 𝑦_{1} (𝑡) \\ ⋮ \\ 𝑦_{𝑛} (𝑡) \end{matrix}) = (\begin{matrix} 𝑥_{1} e^{𝜆 𝑡} \\ ⋮ \\ 𝑥_{𝑛} e^{𝜆 𝑡} \end{matrix}) = e^{𝜆 𝑡} 𝒙

(7)

其中 $𝕂^{𝑛 \times 1} ∋ 𝒙 = {(𝑥_{1}, \dots, 𝑥_{𝑛})}^{T}$ 是待定常向量、 $𝜆 \in 𝕂$ 是待定係數．於是 $e^{𝜆 𝑡} 𝒙$ 是解当且仅当

𝜆 e^{𝜆 𝑡} 𝒙 = 𝒚^{'} = 𝑨 𝒚 = 𝑨 e^{𝜆 𝑡} 𝒙

(8)

等价于求 $𝑨$ 的本徵值問題

𝑨 𝒙 = 𝜆 𝒙

(9)

解得本徵值 $𝜆_{1}, \dots, 𝜆_{𝑛}$ 和對應的本徵向量 $𝒙_{1}, \dots, 𝒙_{𝑛}$ ．其中 $𝑐_{1}, \dots, 𝑐_{𝑛} \in 𝕂$ 是任意常數．如此、

𝑐_{1} e^{𝜆_{1} 𝑡} 𝒙_{1}, \dots, 𝑐_{𝑛} e^{𝜆_{𝑛} 𝑡} 𝒙_{𝑛}

(10)

如果本征值互不相同、則本徵向量線性獨立．以命題 4

𝒚 (𝑡) = 𝑐_{1} e^{𝜆_{1} 𝑡} 𝒙_{1} + \dots + 𝑐_{𝑛} e^{𝜆_{𝑛} 𝑡} 𝒙_{𝑛}

(11)

是原方程的通解．

命題 2.

（存在唯一定理）

$𝑨 (𝑥)$ 、 $𝒇 (𝑥)$ 各元素在 $𝐼 ≔ (𝑎, 𝑏)$ 上連續． $𝑥_{0} \in 𝐼$ 、 $𝒚_{0} \in 𝗥^{𝑛}$ ．初值問題

\begin{matrix} \frac{d 𝒚}{d 𝑥} = 𝑨 (𝑥) 𝒚 (𝑥) + 𝒇 (𝑥) \\ 𝒚 (𝑥_{0}) = 𝒚_{0} \end{matrix}

(12)

在 $𝐼$ 上存在唯一解．

是定理之證明需要 Picard-Lindelöf 定理．此處略．

命題 3.

（解空間的維度）

$𝑛$ 階齊次線性微分方程組

\frac{d 𝒚}{d 𝑥} = 𝑨 (𝑥) 𝒚

(13)

的解集 $𝑆$ 是 $𝗥$ 上的 $𝑛$ 維向量空間．

證 .

注意：你可能因爲代數方程組的經驗而誤認爲微分方程組的解空間的維度和 $𝑨$ 的秩相關．實則不然．縱使 $𝑨 = 𝑶$ , 解空間 $𝒚 = {[𝑐_{1}, \dots, 𝑐_{𝑛}]}^{T}$ 的維度仍然是 $𝑛$ ．

任取 $𝑥_{0} \in (𝑎, 𝑏)$ ．則由存在唯一性定理可知、 $\forall 𝒚_{0} \in 𝗥^{𝑛}, \exists! 𝒚 \in 𝑆, 𝒚 (𝑥_{0}) = 𝒚_{0}$ ．於是、我們可以定義從初值到解的映射

𝐻 : 𝒚_{0} \mapsto 𝒚 (𝑥); 𝗥^{𝑛} \to 𝑆

(14)

任取 $𝒚_{1}^{0}, 𝒚_{2}^{0} \in 𝗥^{𝑛}, 𝑐_{1}, 𝑐_{2} \in 𝗥$ 、設

𝒚_{1} = 𝐻 (𝒚_{1}^{0}), 𝒚_{2} = 𝐻 (𝒚_{2}^{0})

(15)

$𝑐_{1} 𝒚_{1} + 𝑐_{2} 𝒚_{2}$ 是方程的解、且 $(𝑐_{1} 𝒚_{1} + 𝑐_{2} 𝒚_{2}) (𝑥_{0}) = 𝑐_{1} 𝒚_{1}^{0} + 𝑐_{2} 𝒚_{2}^{0}$ ．於是

𝐻 (𝑐_{1} 𝒚_{1}^{0} + 𝑐_{2} 𝒚_{2}^{0}) = 𝑐_{1} 𝒚_{1} + 𝑐_{2} 𝒚_{2} = 𝑐_{1} 𝐻 (𝒚_{1}^{0}) + 𝑐_{2} 𝐻 (𝒚_{2}^{0})

(16)

因此、 $𝐻$ 是一個線性映射．因爲不同的初值對應不同的解、 $𝐻$ 是單映．又因爲任意解 $𝒚 \in 𝑆$ 、 $𝒚 (𝑥_{0}) \in 𝗥^{𝑛}$ 、從而 $𝐻 (𝒚 (𝑥_{0})) = 𝒚$ 、故 $𝐻$ 是滿映．由是、 $𝐻$ 是一個線性同構．從而 $\dim 𝑆 = 𝑛$ ． $∎$

命題 4.

（推論）

式

(13)

在

(𝑎, 𝑏)

上有

𝑛

個線性獨立的解

𝒚_{1}, \dots, 𝒚_{𝑛}

、則通解爲

𝒚 = 𝑐_{1} 𝒚_{1} + \dots + 𝑐_{𝑛} 𝒚_{𝑛}

(17)