幅角定理

Abstract

Argument Principle 案例來說應該譯作「幅角原理」、但是煢鴉認爲「原理」一詞

Given polynomial $𝑃 (𝑧) = (𝑧 - 𝑎) (𝑧 - 𝑏) (𝑧 - 𝑐)$ . It is obvious that $𝑃 (𝑧)$ has 3 simple zeros at $𝑎$ , $𝑏$ and $𝑐$ . Let contour $𝐿$ enclose $𝑎$ and $𝑏$ but not $𝑐$ .

Given polynomial $𝑃 (𝑧) = {(𝑧 - 𝑎)}^{2} (𝑧 - 𝑏) (𝑧 - 𝑐)$ . There exists a zero of order 2 at $𝑎$ , and simple zeros at $𝑏$ and $𝑐$ . It is obvious, but we want to have a definition of zero for all holomorphic functions.

零點

當 $𝑓 (𝑧_{0}) = 0$ 時、稱 $𝑧_{0}$ 為全纯函数 $𝑓 : Ω \to 𝗖$ 的零點．特别的、如果存在全純函數 $𝑔 : 𝑈 (𝑧_{0}) \to 𝗖$ 和正整數 $𝑛$ 從而 $𝑔 (𝑧_{0}) \neq 0$ 且

𝑓 (𝑧) = {(𝑧 - 𝑧_{0})}^{𝑛} 𝑔 (𝑧)

(1)

則稱 $𝑧_{0}$ 是 $𝑓$ 的 $𝑛$ 重零點．如果 $𝑛 = 1$ 、則稱 $𝑧_{0}$ 為單零點． $𝑛$ 稱為零點 $𝑧_{0}$ 的重數．

命題 1.

（零點的局部結構）

設 $Ω$ 是连通开集． $𝑓 : Ω \to 𝗖$ 全純而不凡、 $𝑧_{0}$ 是 $𝑓$ 的零點．则唯一存在正整數 $𝑛$ 、並存在 $𝑧_{0}$ 的邻域 $𝑈 (𝑧_{0}) \subset Ω$ 和其上非平凡的全純函數 $𝑔 : 𝑈 (𝑧_{0}) \to 𝗖$ 、使得對於所有 $𝑧 \in 𝑈 (𝑧_{0})$ 、都有

𝑓 (𝑧) = {(𝑧 - 𝑧_{0})}^{𝑛} 𝑔 (𝑧)

(2)

證 .

因为 $𝑓$ 在 $Ω$ 上全純、故在 $𝑧_{0}$ 處可展開為泰勒級數：

𝑓 (𝑧) = \sum_{𝑘 = 0}^{\infty} 𝑎_{𝑘} {(𝑧 - 𝑧_{0})}^{𝑘}

(3)

因爲 $𝑓$ 在 $Ω$ 上不全爲 $0$ 、故存在 $𝑛$ 為最小的正整數使得 $𝑎_{𝑛} \neq 0$ 者．則有

\begin{matrix} 𝑓 (𝑧) & = 𝑎_{𝑛} {(𝑧 - 𝑧_{0})}^{𝑛} + 𝑎_{𝑛 + 1} {(𝑧 - 𝑧_{0})}^{𝑛 + 1} + \dots \\ = {(𝑧 - 𝑧_{0})}^{𝑛} (𝑎_{𝑛} + 𝑎_{𝑛 + 1} (𝑧 - 𝑧_{0}) + 𝑎_{𝑛 + 2} {(𝑧 - 𝑧_{0})}^{2} + \dots) \\ ≕ {(𝑧 - 𝑧_{0})}^{𝑛} 𝑔 (𝑧) \end{matrix}

(4)

其中 $𝑔 (𝑧) = \sum_{𝑘 = 0}^{\infty} 𝑎_{𝑘 + 𝑛} {(𝑧 - 𝑧_{0})}^{𝑘}$ . 顯然 $𝑔$ 與 $𝑓$ 的收斂半徑相同．在 $Ω$ 上全純．

所以 $𝑔$ 在某鄰域 $𝑈 (𝑧_{0})$ 中處處非零者． $𝑎_{𝑛} \neq 0$ 、故 $𝑔 (𝑧_{0}) = 𝑎_{𝑛} \neq 0$ ．由全純函數連續、存在 $𝛿 > 0$ 使得對所有 $𝑧 \in 𝑈 (𝑧_{0}, 𝛿)$ 、有 $| 𝑔 (𝑧) - 𝑔 (𝑧_{0}) | < | 𝑔 (𝑧_{0}) |$ ．由是 $| 𝑔 (𝑧) | > 0$ 、而 $𝑔 (𝑧) \neq 0$ ．
$𝑛$ 所以唯一者．設 $𝑚 \in 𝗡^{*}$ 亦使得 $𝑓 (𝑧) = {(𝑧 - 𝑧_{0})}^{𝑚} ℎ (𝑧)$ 、其中 $ℎ (𝑧_{0}) \neq 0$ ．不妨設 $𝑚 > 𝑛$ ．則

$𝑔 (𝑧) = {(𝑧 - 𝑧_{0})}^{𝑚 - 𝑛} ℎ (𝑧)$
(5)

$𝑧 \to 𝑧_{0}$ 時、得知 $𝑔 (𝑧_{0}) = 0$ 、謬也．若 $𝑛 > 𝑚$ 、亦同理可證 $ℎ (𝑧_{0}) = 0$ 、亦謬．於是 $𝑛 = 𝑚$ ．

$∎$

根據上述命題我們獲知

全純函數的零點的重數是存在且唯一的．
非平凡全純函數零點是孤立的．也就是說、零點的某鄰域內無其他零點．

命題 2.

$𝑓$ 是 $Ω$ 上的全純函數、則 $𝑓$ 有 $𝑚$ 重零點 $𝑧_{0} \in Ω$ 若且唯若

𝑓 (𝑧_{0}) = 𝑓^{'} (𝑧_{0}) = \dots = 𝑓^{(𝑚 - 1)} (𝑧_{0}) = 0, 𝑓^{(𝑚)} (𝑧_{0}) \neq 0

(6)

證 .

（充分條件） 因爲 $𝑧_{0}$ 是全純函數 $𝑓$ 的 $𝑚$ 重零點、所以有 $𝑎_{𝑚} \neq 0$ 而

𝑓 (𝑧) = 𝑎_{𝑚} {(𝑧 - 𝑧_{0})}^{𝑚} + 𝑎_{𝑚 + 1} {(𝑧 - 𝑧_{0})}^{𝑚 + 1} + \dots

(7)

較然

𝑓^{(𝑛)} (𝑧_{0}) = 𝑛! 𝑎_{𝑛} = {\begin{matrix} 0 & 𝑛 < 𝑚 \\ 𝑚! 𝑎_{𝑚} & 𝑛 = 𝑚 \end{matrix}

(8)

（必要條件） 設全純函數 $𝑓 (𝑧)$ 滿足 $𝑓 (𝑎) = 𝑓^{'} (𝑎) = \dots = 𝑓^{(𝑚 - 1)} (𝑎) = 0, 𝑓^{(𝑚)} (𝑎) \neq 0$ ． $𝑓 (𝑧)$ 在 $𝑎$ 處的泰勒級數爲:

\begin{matrix} 𝑓 (𝑧) & = \sum_{𝑘 = 𝑚}^{\infty} \frac{𝑓^{(𝑘)} (𝑎)}{𝑘!} {(𝑧 - 𝑎)}^{𝑘} \\ = {(𝑧 - 𝑎)}^{𝑚} \sum_{𝑘 = 0}^{\infty} \frac{𝑓^{(𝑚 + 𝑘)} (𝑎)}{(𝑚 + 𝑘)!} {(𝑧 - 𝑎)}^{𝑘} \end{matrix}

(9)

可定義

\begin{matrix} 𝑔 (𝑧) & ≔ \sum_{𝑘 = 0}^{\infty} \frac{𝑓^{(𝑚 + 𝑘)} (𝑎)}{(𝑚 + 𝑘)!} {(𝑧 - 𝑎)}^{𝑘} \end{matrix}

(10)

於是 $𝑓 (𝑧) = {(𝑧 - 𝑎)}^{𝑚} 𝑔 (𝑧)$ 而 $𝑔 (𝑎) = 𝑓^{(𝑚)} \frac{𝑎}{𝑚!} \neq 0$ . 且 $𝑔 (𝑧)$ 和 $𝑓 (𝑧)$ 有相同的收斂半徑． $∎$

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Abstract

Polynomial

零點

極點