二元運算

𝐴, 𝐵, 𝐶 是集合．稱映射 ⋅:𝐴×𝐵→𝐶 爲定義在 𝐴, 𝐵 上的二元映射，一般使用中綴表示法 𝑎⋅𝑏 來表示 ⋅(𝑎,𝑏)．特殊地, 𝐴=𝐵=𝐶 時，稱爲 𝐴 上的二元算子．對於二元算子 ⋅ 和 ⋆，∀𝑎,𝑏,𝑐∈𝐴 如果滿足

  • 𝑎⋅𝑏=𝑏⋅𝑎，則稱 ⋅ 可易．
  • (𝑎⋅𝑏)⋅𝑐=𝑎⋅(𝑏⋅𝑐)，則稱 ⋅ 結合．
  • 𝑎⋆(𝑏⋅𝑐)=(𝑎⋆𝑏)⋅(𝑎⋆𝑐)，則稱 ⋆ 對 ⋅ 分配．

幺元

對於 𝐴 和其上的二元算子 ⋅，若 ∃𝑒𝑟∈𝐴,∀𝑎∈𝐴，𝑎⋅𝑒𝑟=𝑎 則稱 𝑒𝑟 爲 ⋅ 的右幺元．同理, ∃𝑒𝑙∈𝐴,∀𝑎∈𝐴,𝑒𝑙⋅𝑎=𝑎, 則稱 𝑒𝑙 爲 ⋅ 的左幺元．注意：幺元是針對與運算的，因此一個運算一個幺元

命题 1.
若左幺元和右幺元同時存在，則必然相等
证明 .
由右幺元的定義: 𝑒𝑙𝑒𝑟=𝑒𝑙 由左幺元的定義: 𝑒𝑙𝑒𝑟=𝑒𝑟 因此 𝑒𝑙=𝑒𝑟 ∎

因此，若左幺元和右幺元皆存在，則可稱之爲幺元，記爲 𝑒．

> M: 好像左極限右極限，左導數右導數的那種感覺，同時存在且相等才有．

命题 2.
（存在唯一性定理）
若幺元存在，則唯一
证明 .
假設存在符合定義的幺元 𝑒1 和 𝑒2 因爲幺元必然是右幺元，𝑒1𝑒2=𝑒1 因爲幺元必然是左幺元，𝑒1𝑒2=𝑒2 因此 𝑒1=𝑒2 ∎

> M: 好像極限的存在唯一性，微分方程 Pichard 存在唯一性，泊松方程的存在唯一性．而且證明思路類似，用反證法

逆元

𝐴 是集合, 若運算 ⋅ 存在幺元 𝑒．對於 𝑎∈𝐴，若 ∃𝑡𝑙∈𝐴 使得 𝑡𝑙𝑎=𝑒 則稱 𝑡𝑙 爲 𝑎 的左逆元．且可類似地定義右逆元． > 注意：逆元是針對與元素的，在存在逆元的條件下，一個元素對應一個逆元

命题 3.
若運算可結合，且 𝑎∈𝐴 的左逆和右逆皆存在，則左逆等於右逆
证明 .
𝑡𝑟=𝑒𝑡𝑟=(𝑡𝑙𝑎)𝑡𝑟=𝑡𝑙(𝑎𝑡𝑟)=𝑡𝑙𝑒=𝑡𝑙∎

若左逆等於右逆，則稱其爲 𝑎 的逆元．

命题 4.
若可結合運算存在 𝑎 的逆元，則逆唯一
证明 .

設 𝑡1 𝑡2 都是 𝑎 的逆元

𝑡1=𝑡1(𝑎𝑡2)=(𝑡1𝑎)𝑡2=𝑡2
(1)

∎

若對於所有 𝑎∈𝐴 都存在逆元，則稱運算 ⋅ 在 𝐴 上可逆．

羣

設集合 𝐺 非空，且在 𝐺 上定義二元算子 ⋅．則稱 (𝐺,⋅) 爲原羣．⋅ 謂之運算． 如果原羣 (𝐺,⋅) 上

  • 存在 𝑒∈𝐺 爲 ⋅ 的幺元：∀𝑎∈𝐺(𝑎⋅𝑒=𝑒⋅𝑎=𝑎)，則稱 (𝐺,⋅,𝑒) 爲幺元羣；

  • 運算 ⋅ 結合：∀𝑎,𝑏,𝑐∈𝐺((𝑎⋅𝑏)⋅𝑐=𝑎⋅(𝑏⋅𝑐))，則稱 (𝐺,⋅) 爲半羣；

    • 存在幺元 𝑒∈𝐺，且運算 ⋅ 結合，則稱 (𝐺,⋅,𝑒) 爲幺半羣；
    • 若（幺）半羣上運算交易：∀𝑎,𝑏∈𝐺(𝑎⋅𝑏=𝑏⋅𝑎)，則謂之交易（幺）半羣．

進一步，若在幺半羣 (𝐺,⋅,𝑒) 上 ⋅ 可逆，即如果 ∀𝑎∈𝐺,∃𝑎−1∈𝐺(𝑎⋅𝑎−1=𝑎−1⋅𝑎=𝑒)，則稱 (𝐺,⋅,𝑒) 爲羣． 並且定義映射

𝐺∋𝑎↦𝑎−1∈𝐺
(2)

爲 ⋅ 逆映射，如果羣 (𝐺,+,𝑒) 是加法羣，則記 + 逆映射爲

𝐺∋𝑎↦−𝑎∈𝐺
(3)

由命题 4 可知，羣中每個元素都存在唯一的逆．

如果羣上的運算交易，則稱之爲交易羣．

例 1.
（映射幺半羣）
(𝑋𝑋,∘,id𝑋)
例 2.
（二元乘法羣）

設 𝐺={1,−1} 是爲有兩個不同元素的集合．用乘法表定義其上的二元運算

⋅ 1 −1
1 1 −1
−1 −1 1
表 1 

可以看出，(𝐺,⋅,1) 是一個交易羣．其幺元爲 1，且每個元素都是其自身的逆元．從對稱性可以看出，乘法是可易的．

置換

設集合 𝑋 非空，令

𝑆𝑋={𝑓∈𝑋𝑋|𝑓 雙映也},
(4)

稱 𝑆𝑋 中的元素爲 𝑋 上的置換．

命题 5.
𝑋 設爲非空集合，(𝑆𝑋,∘,id𝑋) 是非羣．其中 ∘ 是映射的複合，id𝑋 是 𝑋 上的恒等映射．
证明 .
  • 任何双射的复合仍然是双射，因此 𝑆𝑋 在 ∘ 下封闭．

∎

同構與同態

設 (𝐺,∘) 和 (𝐻,⦁) 是兩個原羣．映射 𝑓∈𝐻𝐺，如果對於所有 𝑎,𝑏∈𝐺 有

𝑓(𝑎∘𝑏)=𝑓(𝑎)⦁𝑓(𝑏)
(5)

稱 𝑓 爲從 (𝐺,∘) 到 (𝐻,⦁) 的同態映射．簡稱同態．如果同態 𝑓 是雙射，則稱 𝑓 爲同構映射，簡曰同構．若存在同構 𝑓，則稱兩個原羣同構．