漸近分析與攝動方法

首先看一个例子

Example 1.

考虑 $1 / (1 + 𝑡)$ 的 Laplace 变换

𝐹 (𝑥) ≔ \int_{0}^{\infty} \frac{1}{1 + 𝑡} e^{- 𝑡 𝑥} d 𝑡

此函数为超越函数．也就是说其没有解析解．我们不妨对 $1 / (1 + 𝑡)$ 进行 Maclaurin 展开．在 $| 𝑡 | < 1$ 内

\frac{1}{1 + 𝑡} = \sum_{𝑘 = 0}^{\infty} {(- 1)}^{𝑘} 𝑡^{𝑘} = 1 - 𝑡 + 𝑡^{2} - 𝑡^{3} + \dots

代入

\begin{aligned} 𝐹 (𝑥) & ≟ \int_{0}^{\infty} (1 - 𝑡 + 𝑡^{2} - 𝑡^{3} + \dots) e^{- 𝑡 𝑥} d 𝑡 \\ = \sum \int_{0}^{\infty} {(- 𝑡)}^{𝑘} e^{- 𝑡 𝑥} d 𝑡 \\ = \sum \int \partial_{𝑥}^{𝑘} e^{- 𝑡 𝑥} d 𝑡 \\ = \sum \partial_{𝑥}^{𝑘} \int e^{- 𝑡 𝑥} d 𝑡 \end{aligned}

一些定义

Definition 1.

渐近相等

设 $𝑓 (𝑥)$ 和 $𝑔 (𝑥)$ 为定义在某个区间 $(𝑎, 𝑏)$ 上的函数，且 $𝑔 (𝑥) \neq 0$ ，若

lim_{𝑥 \to 𝑥_{0}} \frac{𝑓 (𝑥)}{𝑔 (𝑥)} = 1

则称 $𝑓 (𝑥)$ 与 $𝑔 (𝑥)$ 于 $𝑥 \to 𝑥_{0}$ 时漸近相等，記作

𝑓 (𝑥) ≃ 𝑔 (𝑥) as 𝑥 \to 𝑥_{0}

Proposition 1.

於某處漸近相等是等價關係．因爲

對稱性 $𝑓 (𝑥) ≃ 𝑔 (𝑥) \Rightarrow 𝑔 (𝑥) ≃ 𝑓 (𝑥)$
反身性 $𝑓 (𝑥) ≃ 𝑓 (𝑥)$
傳遞性 $𝑓 (𝑥) ≃ 𝑔 (𝑥) \land 𝑔 (𝑥) ≃ ℎ (𝑥) \Rightarrow 𝑓 (𝑥) ≃ ℎ (𝑥)$

Definition 2.

Landau 記號

設 $𝑓 (𝑥)$ 和 $𝑔 (𝑥)$ 爲某區間 $(𝑎, 𝑏)$ 上的函數，且 $𝑔 (𝑥) \neq 0$ . 若 $𝑓 (𝑥) / 𝑔 (𝑥)$ 有界．即有 $𝑀 > 0$ 和 $𝛿 > 0$ 而使某邻域 $0 < | 𝑥 - 𝑥_{0} | < 𝛿$ 所有之 $𝑥$ ， $| 𝑓 (𝑥) / 𝑔 (𝑥) | \leq 𝑀$ ．則称 $𝑔 (𝑥)$ 为 $𝑓 (𝑥)$ 于 $𝑥 \to 𝑥_{0}$ 的漸近上界，记作

𝑓 (𝑥) \in 𝑂 (𝑔 (𝑥)) as 𝑥 \to 𝑥_{0}

若

lim_{𝑥 \to 𝑥_{0}} \frac{𝑓 (𝑥)}{𝑔 (𝑥)} = 0

則称 $𝑓 (𝑥)$ 于 $𝑥 \to 𝑥_{0}$ 时为 $𝑔 (𝑥)$ 漸近可略，或称高階无窮小，记作

𝑓 (𝑥) \in 𝑜 (𝑔 (𝑥)) as 𝑥 \to 𝑥_{0}

亦可記以

𝑓 (𝑥) ≪ 𝑔 (𝑥) as 𝑥 \to 𝑥_{0}

Remark .

以上定義旨在比較兩個函數在某點附近的變化率．對於漸近相等的定義來說，我們可以做一個簡單的變形

lim_{𝑥 \to 𝑥_{0}} \frac{𝑓 (𝑥)}{𝑔 (𝑥)} = 1 \Leftrightarrow lim_{𝑥 \to 𝑥_{0}} \frac{𝑓 (𝑥) - 𝑔 (𝑥)}{𝑔 (𝑥)} = 0 \Leftrightarrow lim_{𝑥 \to 𝑥_{0}} \frac{𝑓 (𝑥) - 𝑔 (𝑥)}{𝑓 (𝑥)} = 0

也就是說，

𝑓 (𝑥)

與

𝑔 (𝑥)

漸近相等，表示了其差是

𝑓

或

𝑔

的高階無窮小．也就是說其相對誤差在無限接近時爲0.

Example 2.

当

𝑥 \to 0

时，

sin 𝑥 \in 𝑂 (𝑥)

，

𝑥^{2} \in 𝑜 (𝑥)

Definition 3.

渐进序列

设 ${𝜑_{𝑖} (𝑥)}$ 为一族定义在某个区间 $(𝑎, 𝑏)$ 上的函数，且 $𝜑_{𝑖} (𝑥) \neq 0$ ，则称 ${𝜑_{𝑖} (𝑥)}_{𝑖 = 1}^{𝑛}$ 为漸近序列，如果

𝜑_{1} (𝑥) ≫ \dots ≫ 𝜑_{𝑛} (𝑥) as 𝑥 \to 𝑥_{0}

Example 3.

当

𝑥 \to 0

时，

{1, 𝑥, 𝑥^{2}, \dots, 𝑥^{𝑛}}

，

{cos 𝑥, sin 𝑥, {sin}^{2} 𝑥}

是渐进序列

设 ${𝜑_{𝑖} (𝑥)}_{𝑖 = 1}^{𝑛}$ 为渐进序列，则 $𝜑_{1} (𝑥) ≫ \dots ≫ 𝜑_{𝑛} (𝑥)$

𝑓 (𝑥) ≃ 𝑎_{1} 𝜑_{1} (𝑥) + 𝑎_{2} 𝜑_{2} (𝑥) \Rightarrow 𝑓 (𝑥) ≃ 𝑎_{1} 𝜑_{1} (𝑥) as 𝑥 \to 𝑥_{0}

Proof .

lim_{𝑥 \to 𝑥_{0}} \frac{𝑓 (𝑥)}{𝜑_{1} (𝑥)} = lim_{𝑥 \to 𝑥_{0}} \frac{𝑎_{1} 𝜑_{1} (𝑥) + 𝑎_{2} 𝜑_{2} (𝑥)}{𝜑_{1} (𝑥)} = 𝑎_{1} + 𝑎_{2} lim_{𝑥 \to 𝑥_{0}} \frac{𝜑_{2} (𝑥)}{𝜑_{1} (𝑥)} = 𝑎_{1}

∎

漸近分析與攝動方法

评论