高斯积分

高斯积分是形如

𝐼 = \int_{\infty}^{\infty} e^{- 𝑥^{2}} d 𝑥

的积分，在统计学中有很大用处．比如在正态分布概率函数中

𝑓 (𝑥) = \frac{1}{𝜎 \sqrt{2 π}} e^{- \frac{{(𝑥 - 𝜇)}^{2}}{2 𝜎^{2}}}

我们不难发现，该函数实际上就是高斯积分被积函数的换元．然而 $𝐼$ 是无穷积分．不难发现

𝐼 = 2 \int_{0}^{\infty} e^{- 𝑥^{2}} d 𝑥 = 2 lim_{𝑢 \to \infty} \int_{0}^{𝑢} e^{- 𝑥^{2}} d 𝑥

而 $e^{- 𝑥^{2}} \leq 1$ ，被积函数有界，因此该积分是收敛的．我们的目的便是求出这个值．

图 1

𝑦 = e^{- 𝑥^{2}}

的图像，阴影部分的面积为

\int_{0}^{𝑢} e^{- 𝑥^{2}} d 𝑥

下面给出 Laplace 的解法．由 Fubini 定理

𝐼^{2} = (2 \int_{0}^{\infty} 𝑒^{- 𝑥^{2}} d 𝑥) (2 \int_{0}^{\infty} 𝑒^{- 𝑦^{2}} d 𝑦) = 4 \iint_{{[0, \infty)}^{2}} e^{- (𝑥^{2} + 𝑦^{2})} d 𝑥 d 𝑦

(1)

我们换元以 $𝑦 = 𝑡 𝑥$

\begin{aligned} 𝐼^{2} & = 4 \iint_{{[0, \infty)}^{2}} e^{- (1 + 𝑡^{2}) 𝑥^{2}} 𝑥 d 𝑥 d 𝑡 \\ = 4 \int_{0}^{\infty} d 𝑡 \int_{0}^{\infty} e^{- (1 + 𝑡^{2}) 𝑥^{2}} 𝑥 d 𝑥 \\ = 4 \int_{0}^{\infty} d 𝑡 \int_{0}^{\infty} \frac{1}{2} e^{- (1 + 𝑡^{2}) 𝑥^{2}} d 𝑥^{2} \\ = 4 \int_{0}^{\infty} d 𝑡 {[- \frac{1}{2} {(1 + 𝑡^{2})}^{- 1} e^{- (1 + 𝑡^{2}) 𝑥^{2}}]}_{0}^{𝑥^{2} = \infty} \\ = 2 \int_{0}^{\infty} \frac{1}{1 + 𝑡^{2}} d 𝑡 \\ = 2 {[arctan 𝑡]}_{0}^{\infty} \\ = π \end{aligned}

因此，可得 $𝐼 = \sqrt{π}$

而此后，Poisson 给出了更优美的解决方案．相比于 Laplace 的 $𝑦 = 𝑡 𝑥$ ，Poisson 使用了不同的方法，他使用 $(𝑥, 𝑦) = (𝜌 cos 𝜑, 𝜌 sin 𝜑)$ ，因此對於式 1 而言．

\begin{aligned} 𝐼^{2} & = 4 \iint_{{[0, \infty)}^{2}} e^{- (𝑥^{2} + 𝑦^{2})} d 𝑥 d 𝑦 \\ = 4 \iint_{[0, \infty) \times [0, \frac{π}{2}]} e^{- 𝜌^{2}} 𝜌 d 𝜌 d 𝜑 \\ = 4 \int_{0}^{\frac{π}{2}} d 𝜑 \int_{0}^{\infty} 𝜌 e^{- 𝜌^{2}} d 𝜌 \\ = 4 \int_{0}^{\frac{π}{2}} d 𝜑 \int_{0}^{\infty} \frac{1}{2} e^{- 𝜌^{2}} d 𝜌^{2} \\ = 4 \int_{0}^{\frac{π}{2}} d 𝜑 {[- \frac{1}{2} e^{- 𝜌^{2}}]}_{0}^{𝜌^{2} = \infty} \\ = 4 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{2} d 𝜑 \\ = π \end{aligned}

正如任何学习过微积分的人都会的那样．观察到被积函数在积分区域上的旋转对称性，通过将积分区域变为极坐标，巧妙的解决了．

评论