緒論 - Uwni'Space

我们以前学习綫形代数时，都是以具体的方式进行的，比如解綫形方程、矩阵运算等．在本章中，我们将学习綫形空间的抽象概念，它是向量和矩阵的推广．首先，你可能会问，为什么我们需要学习如此抽象的概念？请看下面的例子．

我们至少在高中时就学习过向量，如位移、速度、力等．实际上，当我们说向量时，我们的第一印象是它们必须有两个或三个分量，代表平面或空间中的一个点．但是在学习了綫形代数之后，我们了解到像 $(1, 2, 3, 4, 5)$ 这样的东西也是向量，尽管我们无法想象它在现实世界中的物理圖像．

所以，基本上，将向量的概念改变为任意数量的分量，是对原始概念的推广或抽象．这样我们可以用新定义处理更多内容，但代价是失去一些物理意义．在本讲中，我们将重复这个过程，进一步抽象向量的概念，以便我们能够找出其中一些共同的、通用的或一般的属性．

让我们回顾一下从 $𝗥^{3}$ 到 $𝗥^{𝑛}$ 的抽象过程，在这里，我将给出一个更严格的定义，作为让你熟悉代数结构的第一步．

回想一下，如果给定一个像 $(𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑)$ 这样的结构，这是一个向量吗？不，绝对不是．实际上，它只是一个元组，即元素的有序有限序列或列表．顺便说一下，你也可以用有序对来构造它．虽然我们通常默认将其视为向量，那是因为我们可以以非常自然的方式在其上定义加法和标量乘法．但是仅使用元组的结构，我们无法对其进行任何操作，除非你事先定义一些．例如，如果你尝试运行

python

(1, 2, 3) + (1, 2, 3)

(1, 2, 3) + (1, 2, 3)

在 Python 中，它将返回 (1, 2, 3, 1, 2, 3)，而如果你尝试在纸上写 $(1, 2, 3) + (4, 5, 6)$ ，读者会默认认为它是 $(1 + 4, 2 + 5, 3 + 6)$ ．这是因为对于编程语言来说，+ 运算符被重载为连接两个元组．但对于数学，特别是在座標空间中，+ 运算符被定义为逐个元素相加．所以你会明白，在使用之前声明或至少知道符号的确切含义是很重要的，否则你会感到困惑．所以，元组不是向量，但我们可以在其上定义向量结构，然后它就成为向量了．

向量的应用

然后，让我们回到向量的话题．例如，我们知道力可以分解为两个正交分量，我们用这个来分析力学问题．为什么我们可以这样做？因为力是一个向量．但类似地，正弦信号

𝐴 \cos (𝜔 𝑡 + 𝜑) = 𝐴 \cos 𝜑 \cos 𝜔 𝑡 - 𝐴 \sin 𝜑 \sin 𝜔 𝑡

(1)

可以分解为两个分量 $\sin 𝜔 𝑡$ 和 $\cos 𝜔 𝑡$ ，我们通常使用星座图来表示这种分解．你有没有注意到这两种情况之间的相似性？因此，我们今天的目标是提出一个结构来处理所有类似的情况．

从上面这两个例子来看，看起来像列表既不是成为向量的充分条件（因为列表上的加法不一定是向量加法），也不是必要条件（因为雖某些东西看起来不像列表，比如函数或多项式，它仍然可以表现得完全像向量）．那么，最终，什么是向量？我们应该如何定义向量？

ALT — 图 1 （Hermann Günther Graßmann，1809-1877）綫形代数的父亲之一．他在1844年发表了《綫形代数的扩展理论》（Die Ausdehnungslehre），形式化了綫形代数的基本概念

在这里，我们将首先介绍域的概念，它是我们用来定义綫形空间的基本代数结构．

域简介

在我们开始讨论向量本身之前，让我们从一个更基本的概念开始．我们的故事将从集合开始，它是数学的基本构建块．假设有一个集合 $𝑆$ ．它太平凡（无聊）了，就像我们上面提到的元组一样．仅使用一个集合，我们几乎什么都做不了．

所以，我们想在集合 $𝑆$ 上定义一个二元运算，它是一个将集合的两个元素映射到集合本身的函数．

定义 1.

（二元运算）

集合 $𝑆$ 上的二元运算 $𝐴$ 是一个函数

𝐴 : 𝑆 \times 𝑆 \to 𝑆

(2)

以下是一些二元运算的例子：

例 1.

（一些二元运算的例子）

在 $𝗥$ 上定义的 $+, -, \times$ ，（ $/$ 是二元运算吗？）
在集合上定义的 $\cup, \cap$ 也是二元运算．（ $\subseteq, \subset$ 是二元运算吗？）
在 ${⊤, ⊥}$ 上定义的 $\land, \lor, \oplus$ ，（ $\neg$ 是二元运算吗？）

然后我们可以定义¹ 域是一个具有两个二元运算（加法和乘法）的集合 $𝑆$ ，它满足某些性质．

注意 .

“加法”和“乘法”这些名称只是名称，它们不一定意味着与数的加法和乘法相同．重要的是这些运算满足某些性质．

定义 2.

（域）

域是一个具有两个二元算子 $+$ 和 $\cdot$ 的集合 $𝑆$ ，使得凡 $𝑎, 𝑏, 𝑐 \in 𝑆$

加法的结合律: $(𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐)$
加法的交换律: $𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎$
加法单位元²: $\exists 0 (𝑎 + 0 = 𝑎)$
加法逆元: $\forall 𝑎 \exists 𝑏 (𝑎 + 𝑏 = 0)$
乘法的结合律: $(𝑎 \cdot 𝑏) \cdot 𝑐 = 𝑎 \cdot (𝑏 \cdot 𝑐)$
乘法的交换律: $𝑎 \cdot 𝑏 = 𝑏 \cdot 𝑎$
乘法单位元: $𝑎 \cdot 1 = 𝑎$
乘法逆元: $𝑎 \neq 0 \Rightarrow \exists 𝑏 (𝑎 \cdot 𝑏 = 1)$
乘法对加法的分配律: $𝑎 \cdot (𝑏 + 𝑐) = 𝑎 \cdot 𝑏 + 𝑎 \cdot 𝑐$

证明 .

（

0 + 𝑎 = 𝑎

）

显然．根据公理 2．

∎

实际上，我们称满足上述前 4 个性质的结构 $(𝑆, +)$ 为交換羣，或Abel 群．所以，如果我们定义阿贝尔群，那么可以给出一个更简单的定义，

定义 3.

一个具有两个阿贝尔群的集合，

(𝑆, +)

用于加法，

(𝑆 ∖ {0}, \cdot)

用于乘法，并且乘法对加法具有分配性．那么我们称之为域，记为

(𝑆, + \cdot)

．

域最常见的例子是分数，你可以很容易地验证分数满足域的所有性质．实数也是一个域，复数也是．

例 2.

（域的例子）

$𝗤$ （分数）
$𝗥$ （实数）
$𝗖$ （复数）

同时，整数不是域，因为它们对于所有非零元素都没有乘法逆元（例如 $\frac{1}{2} \notin 𝗭$ ），自然数甚至不是群 [任务：搜索群的定义，并说明原因．]．

向量空间

现在我们准备好定义什么是向量空间了．

定义 4.

（向量空间）

在 $𝕂$ 上的向量空间 $𝑉$ ，由一个集合 $𝑉$ （其元素称为向量）和一个域 $𝕂$ （其元素称为标量），以及以下两个二元映射组成：

向量加法: $+ : 𝑉 \times 𝑉 \to 𝑉$
标量乘法: $\cdot : 𝕂 \times 𝑉 \to 𝑉$

这些运算必须满足以下公理．对于向量 $𝒖, 𝒗, 𝒘 \in 𝑉$ 和标量 $𝑎, 𝑏 \in 𝕂$ ，对于向量加法 $+$

结合: $(𝒖 + 𝒗) + 𝒘 = 𝒖 + (𝒗 + 𝒘)$
对易: $𝒖 + 𝒗 = 𝒗 + 𝒖$
有单位元: 存在 $𝟎 \in 𝑉$ 使得对所有 $𝒗 \in 𝑉$ 有 $𝒗 + 𝟎 = 𝒗$
有逆元: 凡 $𝒗 \in 𝑉$ ，存在 $𝒘 \in 𝑉$ 使得 $𝒗 + 𝒘 = 𝟎$

换句话说，如果我们重用定义， $(𝑉, +_{𝑉}, 𝟎)$ 是一个阿贝尔群．而对于标量乘法：

结合: $𝑎 (𝑏 𝒗) = (𝑎 𝑏) 𝒗$
有单位元³: $1 𝒗 = 𝒗$
对向量加法分配: $𝑎 (𝒖 + 𝒗) = 𝑎 𝒖 + 𝑎 𝒗$
对标量加法分配: $(𝑎 + 𝑏) 𝒗 = 𝑎 𝒗 + 𝑏 𝒗$

不引起混淆則 $\cdot$ 可省略，如 $𝑎 𝒗 ≔ 𝑎 \cdot 𝒗$ ．

注意 .

这八个公理完全表征了我们所说的向量空间的含义．如果一个集合

𝑉

及其运算在某个域

𝕂

上满足这些公理，那么我们称它为

𝕂

上的向量空间．

现在，我们终于可以回答这个问题了，什么是向量？答案很简单但很抽象：向量是向量空间的一个元素．而向量空间是由上述八个公理定义的．

现在让我们看一些具体的例子，看看这个抽象定义如何应用于熟悉和不太熟悉的情况．

例 3.

（座标空间

𝗥^{𝑛}

）

最熟悉的例子是

𝗥^{𝑛} = {(𝑥_{1}, 𝑥_{2}, \dots, 𝑥_{𝑛}) | 𝑥_{𝑖} \in 𝗥}

(3)

在域 $𝗥$ 上．这里：

向量加法： $(𝑥_{1}, \dots, 𝑥_{𝑛}) + (𝑦_{1}, \dots, 𝑦_{𝑛}) = (𝑥_{1} + 𝑦_{1}, \dots, 𝑥_{𝑛} + 𝑦_{𝑛})$
标量乘法： $𝑎 \cdot (𝑥_{1}, \dots, 𝑥_{𝑛}) = (𝑎 𝑥_{1}, \dots, 𝑎 𝑥_{𝑛})$
加法单位元： $(0, 0, \dots, 0)$
加法逆元： $(- 𝑥_{1}, \dots, - 𝑥_{𝑛})$

你可以验证所有八个公理都得到满足．

例 4.

（多项式）

令 $𝒫_{𝑛} (𝗥)$ 为所有次数至多为 $𝑛$ 的实系数多项式的集合：

𝒫_{𝑛} (𝗥) = {𝑎_{0} + 𝑎_{1} 𝑥 + 𝑎_{2} 𝑥^{2} + \dots + 𝑎_{𝑛} 𝑥^{𝑛} | 𝑎_{𝑖} \in 𝗥}

(4)

这里：

向量加法： $(𝑎_{0} + 𝑎_{1} 𝑥 + \dots) + (𝑏_{0} + 𝑏_{1} 𝑥 + \dots) = (𝑎_{0} + 𝑏_{0}) + (𝑎_{1} + 𝑏_{1}) 𝑥 + \dots$
标量乘法： $𝑐 \cdot (𝑎_{0} + 𝑎_{1} 𝑥 + \dots) = (𝑐 𝑎_{0}) + (𝑐 𝑎_{1}) 𝑥 + \dots$
加法单位元： $0 = 0 + 0 𝑥 + 0 𝑥^{2} + \dots$
加法逆元： $- (𝑎_{0} + 𝑎_{1} 𝑥 + \dots) = (- 𝑎_{0}) + (- 𝑎_{1}) 𝑥 + \dots$

注意多项式在几何意义上看起来不像“向量”，但仍然满足所有向量空间公理！

例 5.

（函数）

令 $𝕂^{𝑆}$ 为从非空集合 $𝑆$ 到 $𝕂$ 的所有函数的集合．我们定义 $\forall 𝑓, 𝑔 \in 𝕂^{𝑆}$

加法： $(𝑓 + 𝑔) (𝑥) = 𝑓 (𝑥) + 𝑔 (𝑥)$
标量乘法： $(𝑐 \cdot 𝑓) (𝑥) = 𝑐 \cdot 𝑓 (𝑥)$
加法单位元：常函数 $0 (𝑥) = 0$ 对所有 $𝑥 \in 𝑆$
加法逆元： $(- 𝑓) (𝑥) = - 𝑓 (𝑥)$

则 $𝕂^{𝑆}$ 是 $𝕂$ 上的向量空间．

这也构成了 $𝕂$ 上的向量空间．函数可以被认为是非常抽象意义上的“向量”，其中“分量”是域中每个点处的函数值．我们可以将这个函数向量空间限制为函数的子集，同时仍然满足向量空间公理．

例 6.

（连续函数）

令 $𝐶 (𝐼)$ 为定义在区间 $𝐼 \to 𝕂$ 上的所有连续函数的集合．结构的定义基本上与例 5 中相同，但具有函数在区间 $𝐼$ 上连续的附加性质．

𝐶 (𝐼) = {𝑓 \in 𝕂^{𝐼} | (\forall 𝑥_{0} \in 𝐼) \lim_{𝑥 \to 𝑥_{0}} 𝑓 (𝑥) = 𝑓 (𝑥_{0})}

(5)

根据连续函数的性质，我们知道两个连续函数的和也是连续的，连续函数的标量乘法也是连续的．所以这个集合也构成了 $𝕂$ 上的向量空间．

此外，令 $𝐶^{1} (𝐼)$ 为所有连续可微函数⁴ $𝐼 \to 𝕂$ 的集合．结构的定义类似，但具有函数具有連續一階導數的附加性质．类似地，我们可以将 $𝐶^{𝑛} (𝐼)$ 定义为具有连续导数直到 $𝑛$ 阶的所有函数的集合．

它们都是 $𝕂$ 上的向量空间．证明留给读者作为练习．

这是我们开始时的例子！

例 7.

（綫形微分方程的解）

微分方程

{𝑦 \in 𝕂^{𝐼} | 𝑦^{(𝑛)} + 𝑎_{𝑛 - 1} 𝑦^{(𝑛 - 1)} + \dots + 𝑎_{1} 𝑦^{'} + 𝑎_{0} 𝑦 = 0}

(6)

的所有解的集合是 $𝕂$ 上的向量空间．其中 $𝑎_{𝑖} \in 𝕂$ 是已知系数．加法和标量乘法的定义与例 5 中相同．

这个向量空间的一些有用性质可以直接从定义（公理）中推导出来．这些性质在使用之前应该被证明．它们显然是真的，但证明起来相当棘手．

命题 1.

（唯一的加法单位元）

向量空间有唯一的加法单位元．

证明 .

假设向量空间

𝑉

中有两个加法单位元

𝟎_{1}

和

𝟎_{2}

．那么：

𝟎_{1} + 𝟎_{2} = 𝟎_{1}

（根据加法单位元的定义）但同时，

𝟎_{2} + 𝟎_{1} = 𝟎_{2}

（根据相同的定义）因此，

𝟎_{1} = 𝟎_{2}

（根据加法的交换律）．

∎

命题 2.

（唯一的加法逆元）

向量空间中的每个元素都有唯一的加法逆元．

证明 .

假设 $𝑉$ 是一个向量空间．令 $𝒗 \in 𝑉$ ．假设 $𝒘$ 和 $𝒘^{'}$ 是 $𝒗$ 的加法逆元．那么

𝒘 = 𝒘 + 𝟎 = 𝒘 + (𝒗 + 𝒘^{'}) = (𝒘 + 𝒗) + 𝒘^{'} = 𝟎 + 𝒘^{'} = 𝒘^{'}

(7)

$∎$

根据加法单位元的唯一性，符号 $- 𝒗$ 被良好定义为 $𝒗$ 的唯一加法逆元．我们可以将减法运算定义为 $𝒗 - 𝒘 = 𝒗 + (- 𝒘)$ ．

命题 3.

凡

𝒗 \in 𝑉

，

0 𝒗 = 𝟎

证明 .

令 $𝒗 \in 𝑉$ ．根据标量乘法的定义，我们有： $0 𝒗 = (0 + 0) 𝒗 = 0 𝒗 + 0 𝒗$ 假设 $- 0 𝒗$ 是 $0 𝒗$ 的加法逆元，使得 $0 𝒗 + (- 0 𝒗) = 𝟎$ ．那么我们有：

𝟎 = 0 𝒗 + (- 0 𝒗) = 0 𝒗 + 0 𝒗 + (- 0 𝒗) = 0 𝒗

(8)

$∎$

命题 4.

凡

𝑎 \in 𝕂

，

𝑎 𝟎 = 𝟎

．

证明 .

令 $𝑎 \in 𝕂$ 和 $𝟎 \in 𝑉$ 为加法单位元．那么： $𝑎 𝟎 = 𝑎 (𝟎 + 𝟎) = 𝑎 𝟎 + 𝑎 𝟎$ 根据加法单位元的定义，我们有： $𝑎 𝟎 + (- 𝑎 𝟎) = 𝟎$ 因此，

𝟎 = 𝑎 𝟎 + (- 𝑎 𝟎) = 𝑎 𝟎 + 𝑎 𝟎 + (- 𝑎 𝟎) = 𝑎 𝟎

(9)

$∎$

命题 5.

凡

𝒗 \in 𝑉

，

(- 1) 𝒗 = - 𝒗

．

证明 .

𝒗 + (- 1) 𝒗 = 1 𝒗 + (- 1) 𝒗 = (1 + (- 1)) 𝒗 = 0 𝒗 = 𝟎

(10)

这个等式说明 $(- 1) 𝒗$ 与 $𝒗$ 相加得到 $𝟎$ ．因此 $(- 1) 𝒗$ 是 $𝒗$ 的加法逆元，如所愿． $∎$

子空间

现在我们理解了向量空间，让我们谈谈子空间．子空间本质上是“向量空间中的向量空间”．

定义 5.

（子空间）

设

𝑉

是

𝕂

上的向量空间．

𝑈 \subseteq 𝑉

與乘法的限制

{​ \cdot |}_{𝑈 \times 𝑈}

和加法的限制

{​ + |}_{𝕂 \times 𝑈}

亦為

𝕂

上的向量空间．則

𝑈

谓之

𝑉

的子空间，

命题 6.

集合 $𝑈 \subseteq 𝑉$ 是 $(𝑉, 𝕂)$ 的子空间，当且仅当：

$𝟎 \in 𝑈$
$𝑈$ 对向量加法封闭： $\forall 𝒖, 𝒗 \in 𝑈, 𝒖 + 𝒗 \in 𝑈$
$𝑈$ 对标量乘法封闭： $\forall 𝒗 \in 𝑈, \forall 𝑎 \in 𝕂, 𝑎 𝒗 \in 𝑈$

证明 .

( $\to$ ) 依定义較然．

( $\leftarrow$ ) 假设 $𝑈$ 满足上述三条件．(1) 确保 $𝑈$ 非空且有加法单位元 $𝟎$ ．(2) 确保 $+ [𝑈 \times 𝑈] = 𝑈$ ．（3）确保 $\cdot [𝕂 \times 𝑈] = 𝑈$ ．如果 $𝒖 \in 𝑈$ ，那么 $- 𝒖$ （根据命题 5 等于 $(- 1) 𝒖$ ）也在 $𝑈$ 中．因此 $𝑈$ 的每个元素都在 $𝑈$ 中有加法逆元．向量空间定义的其他部分，如结合律和交换律，对于 $𝑈$ 自动满足，因为它们在更大的空间 $𝑉$ 上成立．因此 $𝑈$ 是一个向量空间，因此是 $𝑉$ 的子空间． $∎$

注意 .

如果满足这三个条件，那么

𝑊

自动从

𝑉

继承所有向量空间公理，所以

(𝑊, 𝐹)

本身就是一个向量空间．同时，如果

𝑊

是

𝑉

的子集但不满足这些条件，它就不是子空间．

例 8.

（通过原点的直綫）

在 $𝗥^{2}$ 中，任何通过原点的直綫都构成一个子空间．例如：

𝑈 = {(𝑥, 𝑦) \in 𝗥^{2} | 𝑦 = 2 𝑥} = {(𝑡, 2 𝑡) | 𝑡 \in 𝗥}

(11)

你可以验证：

$(0, 0) \in 𝑈$
如果 $(𝑡_{1}, 2 𝑡_{1}), (𝑡_{2}, 2 𝑡_{2}) \in 𝑈$ ，那么 $(𝑡_{1}, 2 𝑡_{1}) + (𝑡_{2}, 2 𝑡_{2}) = (𝑡_{1} + 𝑡_{2}, 2 (𝑡_{1} + 𝑡_{2})) \in 𝑈$
如果 $(𝑡, 2 𝑡) \in 𝑈$ 且 $𝑎 \in 𝗥$ ，那么 $𝑎 \cdot (𝑡, 2 𝑡) = (𝑎 𝑡, 2 𝑎 𝑡) \in 𝑈$

类似地， $𝗥^{3}$ 中任何通过原点的平面或直綫都是子空间．

注意 .

但请注意，仅當直綫通過原點時，才構成子空間．如果直綫不通过原点，我们称之为仿射空间．

例 9.

（偶/奇函数）

在向量空间 $𝕂^{𝑆}$ 中，偶/奇函数的集合构成一个子空间．

它包含 $0 (𝑥) = 0$ 函数．
如果 $𝑓 (𝑥)$ 和 $𝑔 (𝑥)$ 是偶/奇的，那么 $(𝑓 + 𝑔) (𝑥) = 𝑓 (𝑥) + 𝑔 (𝑥)$ 也是偶/奇的．
如果 $𝑓 (𝑥)$ 是偶/奇的且 $𝑐 \in 𝗥$ ，那么 $(𝑐 𝑓) (𝑥) = 𝑐 𝑓 (𝑥)$ 也是偶/奇的．

例 10.

（连续函数）

区间 $𝐼$ 上所有连续函数的集合 $𝐶 (𝐼)$ 构成所有函数的向量空间 $𝕂^{𝐼}$ 的子空间．

常值函数 $0 (𝑥) = 0$ 在 $𝐶 (𝐼)$ 中
如果 $𝑓, 𝑔 \in 𝐶 (𝐼)$ ，那么 $(𝑓 + 𝑔) (𝑥) = 𝑓 (𝑥) + 𝑔 (𝑥)$ 也是连续的，所以 $𝑓 + 𝑔 \in 𝐶 (𝐼)$
如果 $𝑓 \in 𝐶 (𝐼)$ 且 $𝑐 \in 𝗥$ ，那么 $(𝑐 𝑓) (𝑥) = 𝑐 𝑓 (𝑥)$ 也是连续的，所以 $𝑐 𝑓 \in 𝐶 (𝐼)$

例 11.

（齐次綫形微分方程的解）

例 7 中綫形齐次微分方程的所有解的集合构成函数向量空间的子空间．

零函数是一个解（平凡解）．
如果 $𝑦_{1}$ 和 $𝑦_{2}$ 是解，那么 $(𝑦_{1} + 𝑦_{2}) (𝑥) = 𝑦_{1} (𝑥) + 𝑦_{2} (𝑥)$ 也是解．
如果 $𝑦$ 是解且 $𝑐 \in 𝗥$ ，那么 $(𝑐 𝑦) (𝑥) = 𝑐 𝑦 (𝑥)$ 也是解．

子空间的和

现在让我们谈谈两个子空间的和．给定向量空间 $𝑉$ 的两个子空间 $𝑈$ 和 $𝑊$ ，它们的和，记为 $𝑈 + 𝑊$ ，定义为：

定义 6.

（子空间的和）

向量空间 $𝑉$ 的两个子空间 $𝑈$ 和 $𝑊$ 的和是集合：

𝑈 + 𝑊 = {𝒖 + 𝒘 | 𝒖 \in 𝑈, 𝒘 \in 𝑊}

(12)

注意 .

应注意

𝑈 \cup 𝑊

与

𝑈 + 𝑊

不同．和

𝑈 + 𝑊

本身是一个向量空间，它包含

𝑈

和

𝑊

中向量的所有可能和，而

𝑈 \cup 𝑊

只是组合两个子空间的元素，所以它甚至不一定是向量空间．

例 12.

假设 $𝑈$ 是 $𝗥^{2}$ 中形式为 $(𝑥, 0)$ 的所有向量的子空间，而 $𝑊$ 是形式为 $(0, 𝑦)$ 的所有向量的子空间．那么：

𝑈 + 𝑊 = {(𝑥, 𝑦) | 𝑥 \in 𝗥, 𝑦 \in 𝗥} = 𝗥^{2}

(13)

构成 $𝗥^{2}$ 平面，而 $𝑈 \cup 𝑊 = {(𝑥, 0) | 𝑥 \in 𝗥} \cup {(0, 𝑦) | 𝑦 \in 𝗥}$ 只是 $𝑥$ 轴和 $𝑦$ 轴的并集，这不是向量空间．

命题 7.

（子空间的和是包含它们的最小子空间）

𝑉

的子空间

𝑉_{1}, \dots, 𝑉_{𝑚}

的和

𝑉_{1} + \dots + 𝑉_{𝑚}

是包含

𝑉_{1}, \dots, 𝑉_{𝑚}

中每一个的

𝑉

的最小子空间．

证明 .

读者可以验证 $𝑉_{1} + \dots + 𝑉_{𝑚}$ 包含加法单位元 $𝟎$ 并且对加法和标量乘法封闭．因此它是 $𝑉$ 的子空间．

子空间 $𝑉_{1}, \dots, 𝑉_{𝑚}$ 都包含在 $𝑉_{1} + \dots + 𝑉_{𝑚}$ 中（要看到这一点，考虑和 $𝒗_{1} + \dots + 𝒗_{𝑚}$ ，其中除了一个 $𝒗_{𝑘}$ 之外的所有都是 $𝟎$ ）．相反，包含 $𝑉_{1}, \dots, 𝑉_{𝑚}$ 的 $𝑉$ 的每个子空间都包含 $𝑉_{1} + \dots + 𝑉_{𝑚}$ （因为子空间必须包含其元素的所有有限和）．因此 $𝑉_{1} + \dots + 𝑉_{𝑚}$ 是包含 $𝑉_{1}, \dots, 𝑉_{𝑚}$ 的 $𝑉$ 的最小子空间． $∎$

如果进一步我们想描述，各个子空间不仅相加为和空间，且各个子空间互不相交．我们称这样的和为直和．

直和

定义 7.

（外直和）

设 $𝑉_{1}, \dots, 𝑉_{𝑛}$ 是 $𝕂$ 上的向量空间．它们的外直和記作

𝑉 = 𝑉_{1} ⊞ \dots ⊞ 𝑉_{𝑛}

(14)

是這些向量空間的笛卡爾積：

𝑉 = {(𝒗_{1}, \dots, 𝒗_{𝑛}) | 𝒗_{𝑖} \in 𝑉_{𝑖}, 𝑖 = 1, \dots, 𝑛}

(15)

加以下加法和標量乘法：

加法：

$(𝒗_{1}, \dots, 𝒗_{𝑛}) + (𝒘_{1}, \dots, 𝒘_{𝑛}) = (𝒗_{1} + 𝒘_{1}, \dots, 𝒗_{𝑛} + 𝒘_{𝑛})$
(16)
標量乘法，對於 $𝑎 \in 𝕂$ ：

$𝑎 \cdot (𝒗_{1}, \dots, 𝒗_{𝑛}) = (𝑎 \cdot 𝒗_{1}, \dots, 𝑎 \cdot 𝒗_{𝑛})$
(17)

考慮到 $𝑛$ 元組 $(𝒗_{1}, \dots, 𝒗_{𝑛})$ 是從指標集到向量空間的映射 $𝑓 : {1, \dots, 𝑛} ∋ 𝑖 \mapsto 𝒗_{𝑖} \in 𝑉_{𝑖}$ ．上述定義可以泛化為任何向量空间族上．

定义 8.

（直積）

设 $ℱ = {𝑉_{𝑖} | 𝑖 \in 𝐼}$ 是 $𝕂$ 上的向量空间族．它们的直积記作

\prod_{𝑖 \in 𝐼} 𝑉_{𝑖} ≔ {𝑓 : 𝐼 \to ⋃_{𝑖 \in 𝐼} 𝑉_{𝑖} | 𝑓 (𝑖) \in 𝑉_{𝑖}}

(18)

可视作從 $𝐼$ 到 $⋃ 𝑉_{𝑖}$ 函数空间的子空间．

爲什麼要叫內直和呢？因爲外直和是在外部從把數個向量空間拼成一個更大的向量空間．而內直和是將一個已有的向量空間內部分解成數個独立子空間的和．

定义 9.

（內直和）

如果 $ℱ = {𝑆_{𝑖} | 𝑖 \in 𝐼}$ 是 $𝑉$ 的子空间族，如果满足以下两个条件，就称 $𝑉$ 为这些子空间的內直和，记为

𝑉 = ⨁_{𝑖 \in 𝐼} 𝑆_{𝑖} 或 𝑉 = ⨁ ℱ

(19)

$𝑉$ 是 $ℱ$ 的和

$𝑉 = \sum_{𝑖 \in 𝐼} 𝑆_{𝑖}$
(20)
凡 $𝑖 \in 𝐼$

$𝑆_{𝑖} \cap (\sum_{𝑗 \neq 𝑖} 𝑆_{𝑗}) = {𝟎}$
(21)

称 $𝑆_{𝑖}$ 為 $𝑉$ 的直和項．如果 $ℱ = {𝑆_{1}, \dots, 𝑆_{𝑛}}$ 是有限集．直積得寫爲

𝑉 = 𝑆_{1} \oplus \dots \oplus 𝑆_{𝑛} .

(22)

若 $𝑉 = 𝑆 \oplus 𝑇$ ，則稱 $𝑇$ 為 $𝑆$ 的補．

注意 .

注意條件 (2) 要強於謂

ℱ

不交．即

\forall 𝑖 \neq 𝑗 \in 𝐼, 𝑆_{𝑖} \cap 𝑆_{𝑗} = {𝟎}

．舉例來說．設

𝑉 = 𝗥^{2}

，

𝑆_{1} = {(𝑥, 0) | 𝑥 \in 𝗥}

，

𝑆_{2} = {(𝑥, 𝑥) | 𝑥 \in 𝗥}

．

𝑆_{3} = {(0, 𝑥) | 𝑥 \in 𝗥}

．即

𝑆_{1}

是

𝑥

軸，

𝑆_{2}

是

𝑦 = 𝑥

直綫，

𝑆_{3}

是

𝑦

軸．則

𝑉 = 𝑆_{1} + 𝑆_{2} + 𝑆_{3}

，且

𝑆_{𝑖} \cap 𝑆_{𝑗} = {𝟎}

對所有

𝑖 \neq 𝑗

成立．然而，

𝑉

不是

𝑆_{1}, 𝑆_{2}, 𝑆_{3}

的直和，因為

𝑆_{2} \cap (𝑆_{1} + 𝑆_{3}) = 𝑆_{2} \neq {𝟎}

．

注意 .

子空間的和總是存在的，然而，直和更要求子空間之間獨立．所以子空間的直和不一定存在．

綫形組合

设 $𝑉$ 的非空子集 $𝑆$ ，對於 $𝒗_{𝑖} \in 𝑆$ ， $𝑎_{𝑖} \in 𝕂$ ，稱式

𝑎_{1} 𝒗_{1} + \dots + 𝑎_{𝑛} 𝒗_{𝑛}

(23)

為 $𝑆$ 的綫形组合．其中 $𝑎_{𝑖}$ 稱為係數，如果係數全為 $0$ ，則稱平凡，根据向量的加法和标量乘法，綫形组合本身也是 $𝑉$ 的一个元素．考慮方程

𝑎_{1} 𝒗_{1} + \dots + 𝑎_{𝑛} 𝒗_{𝑛} = 𝟎

(24)

若存在非平凡綫形組合滿足方程，則稱 $𝑆$ 綫形相關．否則稱綫形獨立．

命题 8.

含

𝟎

的集合必綫形相关．

证明 .

顯然．

∎

$𝑆$ 所有綫形組合之集合記作

span 𝑆 ≔ {\sum_{𝑖 = 1}^{𝑛} 𝑎_{𝑖} 𝒗_{𝑖} | 𝑎_{𝑖} \in 𝕂, 𝒗_{𝑖} \in 𝑆}

(25)

稱 $𝑆$ 為 $span 𝑆$ 的張集．又稱 $𝑆$ 張成 $span 𝑆$ ．至於有序的元组 $(𝒗_{𝑖})$ ，以加法的交换性，其綫形组合的值与其顺序无关，是故定义 $span (𝒗_{𝑖}) ≔ span {𝒗_{𝑖}}$ ．

命题 9.

span 𝑆

是

𝑉

於

𝕂

之子空間．

证明 .

我們需要驗證 $𝑆$ 滿足子空間的三個條件：

$𝟎 \in 𝑆$ ：因為 $\forall 𝑎_{𝑖} = 0$ ， $𝟎 = 0 \cdot 𝒗_{1} + \dots + 0 \cdot 𝒗_{𝑛} \in 𝑆$ ．
對於任意 $𝒖, 𝒗 \in 𝑆$ ，有 $𝒖 + 𝒗 \in 𝑆$ ：因為 $𝒖$ 和 $𝒗$ 都是 $𝑆$ 的綫形組合，所以它們的和也是 $𝑆$ 的綫形組合，因此 $𝒖 + 𝒗 \in 𝑆$ ．
對於任意 $𝒗 \in 𝑆$ 和 $𝑎 \in 𝕂$ ，有 $𝑎 𝒗 \in 𝑆$ ：因為 $𝒗$ 是 $𝑆$ 的綫形組合，所以 $𝑎 𝒗$ 也是 $𝑆$ 的綫形組合，因此 $𝑎 𝒗 \in 𝑆$ ．

因此， $span 𝑆$ 是 $𝑉$ 的子空間．稱為 $𝑆$ 的張空間． $∎$

同一个向量可以有不同的綫形组合表示．现在思考如下的綫形组合：

1 𝒙 + 0 𝒚 + 3 𝒛

(26)

3 𝒙 + 3 𝒛 - 2 𝒙

(27)

他们自然是同一个向量，但是同一个綫形组合吗？从字符串的角度来看他们显然不同．但通过简单化简都能化成同一个綫形组合．再来考虑如果 $𝒚 = 𝒙 + 𝒛$ ，那么同一个向量亦能用 $0 𝒙 + 1 𝒚 + 2 𝒛$ 表示．但这个綫形组合无法直接化简成 $𝒙 + 3 𝒛$ ，与前两个显然不同．为了避免混淆这种雖同一个向量的綫形组合因为插入 0 项，拆项等造成的字符串排列不同而实际上相同的情况，我们引入下面的定义．

如果 $𝑉 ∋ 𝒗$ 可以唯一地表示為 $𝑆$ 的綫形組合

𝒗 = 𝑎_{1} 𝒗_{1} + \dots + 𝑎_{𝑘} 𝒗_{𝑘}

(28)

其中 $𝑖 \neq 𝑗 \to 𝒗_{𝑖} \neq 𝒗_{𝑗}$ ， $𝑎_{𝑖} \neq 0$ ．则称之为本質唯一的綫形组合．

命题 10.

（綫形无关的充要条件）

向量集 $𝑆 \neq {𝟎}$ ．以下三命题等价：

$𝑆$ 綫形无关．
$span 𝑆$ 中非零向量皆是 $𝑆$ 的本質唯一綫形组合．
$𝑆$ 中任一向量皆非其余向量的綫形组合．

证明 .

(1 $\Rightarrow$ 2)

𝟎 \neq 𝑎_{1} 𝒔_{1} + \dots + 𝑎_{𝑛} 𝒔_{𝑛} = 𝑏_{1} 𝒕_{1} + \dots + 𝑏_{𝑚} 𝒕_{𝑚}

(29)

其中各项系数皆非零，且向量皆不同．现在等号两端相减并合并同类项，得到

\begin{matrix} 𝟎 = & (𝑎_{𝑖_{1}} - 𝑏_{𝑗_{1}}) 𝒔_{𝑖_{1}} + \dots + (𝑎_{𝑖_{𝑘}} - 𝑏_{𝑗_{𝑘}}) 𝒔_{𝑖_{𝑘}} \\ + 𝑎_{𝑖_{𝑘 + 1}} 𝒔_{𝑖_{𝑘 + 1}} + \dots + 𝑎_{𝑖_{𝑛}} 𝒔_{𝑖_{𝑛}} \\ - 𝑏_{𝑗_{𝑘 + 1}} 𝒕_{𝑗_{𝑘 + 1}} - \dots - 𝑏_{𝑗_{𝑚}} 𝒕_{𝑗_{𝑚}} \end{matrix}

(30)

由于 (1) 成立，得知所有系数均为零，从而只有第一行的同类项， $𝑛 = 𝑚 = 𝑘$ 并且 $𝑎_{𝑖_{𝑙}} = 𝑏_{𝑗_{𝑙}}$ ， $𝒔_{𝑖_{𝑙}} = 𝒕_{𝑗_{𝑙}}$ 对所有 $𝑙 = 1, \dots, 𝑘$ 成立．

(2 $\Rightarrow$ 3) 使用反證法．假設 $𝑆 = {𝒔} ⊔ {𝒔_{1}, \dots, 𝒔_{𝑛}}$ 而

𝒔 = 𝑎_{1} 𝒔_{1} + \dots + 𝑎_{𝑛} 𝒔_{𝑛}

(31)

合並同類項後，因還可以綫形組合爲 $𝒔 = 1 𝒔$ ，必然牴觸於 (2) 而得證．

(3 $\Rightarrow$ 1) 使用反證法．假設 $𝑆 = {𝒔_{1}, \dots, 𝒔_{𝑛}}$ 綫形相關，方程

𝟎 = 𝑎_{1} 𝒔_{1} + \dots + 𝑎_{𝑛} 𝒔_{𝑛}

(32)

有非凡解， $\exists 𝑎_{𝑘} \neq 0$

𝒔_{𝑘} = - \frac{1}{𝑎_{𝑘}} (𝑎_{1} 𝒔_{1} + \dots + 𝑎_{𝑘 - 1} 𝒔_{𝑘 - 1} + 𝑎_{𝑘 + 1} 𝒔_{𝑘 + 1} + \dots + 𝑎_{𝑛} 𝒔_{𝑛})

(33)

與 (3) 矛盾而得證． $∎$

命题 11.

（Steinitz 交換引理）

向量空间

𝑉

中，向量集

{𝒍_{1}, \dots, 𝒍_{𝑛}}

綫形无关，集

{𝒔_{1}, \dots, 𝒔_{𝑚}}

张成

𝑉

．然則存在

1 \leq 𝑖_{𝑛 + 1} < \dots < 𝑖_{𝑚} \leq 𝑚

，而集合

{𝒍_{1}, \dots, 𝒍_{𝑛}, 𝒔_{𝑖_{𝑛 + 1}}, \dots, 𝒔_{𝑖_{𝑚}}}

張成

𝑉

．

证明 .

當 $𝑛 = 0$ 時，顯然成立．我們對 $𝑛$ 使用數學歸納法．假設對於 $𝑛 - 1$ 成立，即 ${𝒍_{1}, \dots, 𝒍_{𝑛 - 1}, 𝒔_{𝑖_{𝑛}}, \dots, 𝒔_{𝑖_{𝑚}}}$ 張成 $𝑉$ ．現在考慮 $𝑛$ ． ${𝒍_{1}, \dots, 𝒍_{𝑛}}$ 綫形独立， $𝒍_{𝑛}$ 非零，故能表示為 $𝒍_{1}, \dots, 𝒍_{𝑛 - 1}, 𝒔_{𝑖_{𝑛}}, \dots, 𝒔_{𝑖_{𝑚}}$ 的非平凡綫形組合

𝒍_{𝑛} = 𝑎_{1} 𝒍_{1} + \dots + 𝑎_{𝑛 - 1} 𝒍_{𝑛 - 1} + 𝑎_{𝑛} 𝒔_{𝑖_{𝑛}} + \dots + 𝑎_{𝑚} 𝒔_{𝑖_{𝑚}}

(34)

$𝑎_{𝑛}, \dots, 𝑎_{𝑚}$ 非爲全 $0$ , 謂存在 $𝑘 \in [𝑛, 𝑚], 𝑎_{𝑘} \neq 0$ ．否则上式只余 $𝒍_{1}, \dots, 𝒍_{𝑛}$ 诸项，与其綫形独立性矛盾．

從而

𝒔_{𝑖_{𝑘}} = \frac{1}{𝑎_{𝑘}} (- 𝑎_{1} 𝒍_{1} - \dots - 𝑎_{𝑛 - 1} 𝒍_{𝑛 - 1} + 𝒍_{𝑛} - \dots - 𝑎_{𝑘 - 1} 𝒔_{𝑖_{𝑘 - 1}} - 𝑎_{𝑘 + 1} 𝒔_{𝑖_{𝑘 + 1}} - \dots)

(35)

任何向量 $𝒗 \in 𝑉$ 可表示為 $𝒍_{1}, \dots, 𝒍_{𝑛 - 1}, 𝒔_{𝑖_{𝑛}}, \dots, 𝒔_{𝑖_{𝑚}}$ 的綫形組合，并代入上式得

\begin{matrix} 𝒗 = & 𝑏_{1} 𝒍_{1} + \dots + 𝑏_{𝑛 - 1} 𝒍_{𝑛 - 1} + 𝑏_{𝑛} 𝒔_{𝑖_{𝑛}} + \dots + 𝑏_{𝑘} 𝒔_{𝑖_{𝑘}} + \dots + 𝑏_{𝑚} 𝒔_{𝑖_{𝑚}} \\ = & (𝑏_{1} - 𝑎_{1} \frac{𝑏_{𝑘}}{𝑎_{𝑘}}) 𝒍_{1} + \dots + (𝑏_{𝑛 - 1} - 𝑎_{𝑛 - 1} \frac{𝑏_{𝑘}}{𝑎_{𝑘}}) 𝒍_{𝑛 - 1} + \frac{𝑏_{𝑘}}{𝑎_{𝑘}} 𝒍_{𝑛} \\ + (𝑏_{𝑛} - 𝑎_{𝑛} \frac{𝑏_{𝑘}}{𝑎_{𝑘}}) 𝒔_{𝑖_{𝑛}} + \dots + (𝑏_{𝑘 - 1} - 𝑎_{𝑘 - 1} \frac{𝑏_{𝑘}}{𝑎_{𝑘}}) 𝒔_{𝑖_{𝑘 - 1}} \\ + (𝑏_{𝑘 + 1} - 𝑎_{𝑘 + 1} \frac{𝑏_{𝑘}}{𝑎_{𝑘}}) 𝒔_{𝑖_{𝑘 + 1}} + \dots + (𝑏_{𝑚} - 𝑎_{𝑚} \frac{𝑏_{𝑘}}{𝑎_{𝑘}}) 𝒔_{𝑖_{𝑚}} \end{matrix}

(36)

其中索引重排列为

𝑖_{𝑙}^{'} = {\begin{matrix} 𝑖_{𝑙 - 1} & if 𝑙 \leq 𝑘 \\ 𝑖_{𝑙} & if 𝑙 > 𝑘 \end{matrix}

(37)

于是，尋得 $1 \leq 𝑖_{𝑛 + 1}^{'} < \dots < 𝑖_{𝑚}^{'} \leq 𝑚$ 从而 $span {𝒍_{1}, \dots, 𝒍_{𝑛}, 𝒔_{𝑖_{𝑛 + 1}^{'}}, \dots, 𝒔_{𝑖_{𝑚}^{'}}} = 𝑉$ ，命題於 $𝑛$ 成立． $∎$

命题 12.

（推論 1）

向量集

𝐿

綫形无关，集

𝑆

张成

𝑉

．然則

| 𝐿 | \leq | 𝑆 |

．

基

向量集 $𝐵$ 稱為向量空間 $(𝑉, 𝕂)$ 的基集，簡稱基，若

$𝐵$ 張成 $𝑉$ ；
$𝐵$ 綫形無關．

命题 13.

（推論 2）

𝑉

有有限張集，

𝐵_{1}, 𝐵_{2}

为基，则

| 𝐵_{1} | = | 𝐵_{2} |

．

证明 .

由於

𝐵_{1}

張成

𝑉

，而

𝐵_{2}

綫形無關，依命题 11 知

| 𝐵_{2} | \leq | 𝐵_{1} |

．又

𝐵_{2}

張成

𝑉

，而

𝐵_{1}

綫形無關，亦可得

| 𝐵_{1} | \leq | 𝐵_{2} |

．乃知

| 𝐵_{1} | = | 𝐵_{2} |

．

∎

命题 14.

向量空间

𝑉

的基都同势．

因此，向量空間之基也勢皆相等，稱為維度． $𝑉$ 的維度記爲 $\dim 𝑉$ ．

命题 15.

（基的性质）

$𝑉$ 是綫形空間，然則下列命题等价:

$𝐵$ 是 $𝑉$ 的基．
$𝑉$ 所有非零向量皆是 $𝐵$ 的本質唯一綫形组合．
$𝐵$ 是 $𝑉$ 的最小張集．
$𝐵$ 是 $𝑉$ 的最大綫形無關集．

证明 .

(1 $\Leftrightarrow$ 2) 由命题 10 (2) 知，命题成立．

(1 $\Rightarrow$ 3) 根据定义，我们知道 $𝐵$ 是 $𝑉$ 的張集，然後我們來證明，他是最小的．

$∎$

命题 16.

$𝑉$ 是有限维綫形空間， $𝑆$ 是向量集合． $| 𝑆 | = \dim 𝑉$ ．則

$𝑆$ 張成 $𝑉$ ．
$𝑆$ 綫形獨立．

等價．

证明 .

$(1 \Rightarrow 2)$: 設 $𝑆$ 綫形相關，則 $\exists 𝒔 \in 𝑆$ ，使得 $𝒔$ 可以 $𝑆^{'} = 𝑆 ∖ {𝒔}$ 之綫性組合表示．則 $𝑆^{'}$ 張成 $𝑉$ ，且 $| 𝑆^{'} | = \dim 𝑉 - 1$ ． $𝑆^{'}$ 是比基更小的張集，矛盾．
$(2 \Rightarrow 1)$: 設 $𝑆$ 不張成 $𝑉$ ，則存在 $𝒗 \in 𝑉$ ，使得 $𝒗 \notin span 𝑆$ ．則 $𝑆^{'} = 𝑆 ⊔ {𝒗}$ 綫性獨立，且 $| 𝑆^{'} | = \dim 𝑉 + 1$ ． $𝑆^{'}$ 是比基更大的綫形獨立集，矛盾．

$∎$

命题 17.

$𝑉$ 是非 ${𝟎}$ 向量空間． $𝐿$ 是 $𝑉$ 中的綫形無關集， $𝑆$ 是 $𝑉$ 的張集． $𝐿 \subseteq 𝑆$ ．則有基 $𝐵$ ，使得 $𝐿 \subseteq 𝐵 \subseteq 𝑆$ ．即

任何非 ${𝟎}$ 向量空間有基．
任何綫形無關集皆含於某基中．
任何張集皆含有某基．

证明 .

假設 $𝒜$ 是 $𝑉$ 中所有含 $𝐿$ 且含於 $𝑆$ 的綫形無關集之集族．以包含關係為偏序．因 $𝐿 \in 𝒜$ 知其非空．設

𝒞 = {𝐿_{𝑖} | 𝑖 \in 𝐼}

(38)

是 $𝒜$ 上的鎖． $𝑈 = ⋃ 𝒞$ 綫形獨立，且 $𝐿 \subseteq 𝑈 \subseteq 𝑆$ ，即 $𝑈 \in 𝒜$ ．故 $𝒜$ 每條鎖皆有上界．由 Zorn 引理，知 $𝒜$ 有極大元 $𝐵$ ．我們來證明 $𝐵$ 是基．若 $𝒔 \in 𝑆$ 但 $𝒔 \notin span 𝐵$ ，則 $𝐵 ⊔ {𝒔}$ 綫性獨立，且 $𝐿 \subseteq 𝐵 ⊔ {𝒔} \subseteq 𝑆$ ，則 $𝐵$ 非極大．故得 $𝑆 \subseteq span 𝐵$ ，並有 $𝑉 = span 𝑆 \subseteq span 𝐵$ $∎$

命题 18.

向量空間 $𝑉$ 的有限子集 $𝑆 = {𝒗_{1}, \dots, 𝒗_{𝑛}}$ 是基．若且唯若

𝑉 = span {𝒗_{1}} \oplus \dots \oplus span {𝒗_{𝑛}}

(39)

綫形映射

我們定義綫形映射爲綫形空間間的同態（即保持加法和純量乘法）．而綫形算子則是自同構．其他課本中或稱綫形算子爲綫形變換．或稱綫形映射爲綫形變換．爲了避免混淆，我們棄之不用．

設 $(𝑉, 𝕂)$ 與 $(𝑊, 𝕂)$ 爲 $𝕂$ 上的綫形空間．映射 $𝑇 : 𝑉 \to 𝑊$ 稱爲從 $𝑉$ 到 $𝑊$ 的綫形映射，或者說綫形空間 $𝑉$ 到 $𝑊$ 的同態，若對任意 $𝒖, 𝒗 \in 𝑉$ 與 $𝑎 \in 𝕂$ ，皆有

$𝑇 (𝒖 + 𝒗) = 𝑇 (𝒖) + 𝑇 (𝒗)$
$𝑇 (𝑎 𝒗) = 𝑎 𝑇 (𝒗)$

如果綫形映射更是對映，則稱爲綫形同構． $𝑉$ ， $𝑊$ 上存在同構映射則稱二者同構．記作 $𝑉 ≅ 𝑊$ ．將所有從 $𝑉$ 到 $𝑊$ 的綫形映射的集合記作 $ℒ (𝑉, 𝑊)$ ． $𝑉$ 上的自同態稱爲 $𝑉$ 上的綫形算子．其集合記爲 $ℒ (𝑉)$ ．

將 $ℒ (𝑉, 𝕂)$ 中的綫形映射稱爲 $𝑉$ 上的綫形泛函．並且可以記該綫形空間爲 $𝑉^{*}$ ，稱爲 $𝑉$ 的對偶空間．

定义 10.

凡 $𝑇, 𝑆 \in ℒ (𝑉, 𝑊)$ ， $𝑎 \in 𝕂$ ， $𝒗 \in 𝑉$ ．

加法: ．
純量乘法: ．

命题 19.

$𝑉, 𝑊$ 是 $𝕂$ 上的綫性空間．則 $ℒ (𝑉, 𝑊)$ 是 $𝕂$ 上的綫性空間．

证明 .

較然可見．

∎

命题 20.

設

𝑣_{1}, \dots, 𝑣_{𝑛}

是

𝑉

的基而

𝑤_{1}, \dots, 𝑤_{𝑛} \in 𝑊

．則唯一有綫形映射

𝑇 \in ℒ (𝑉, 𝑊)

使

𝑇 𝑣_{𝑖} = 𝑤_{𝑖}

對所有

𝑖 = 1, \dots, 𝑛

成立．

命题 21.

綫形映射

𝑇 \in ℒ (𝑉, 𝑊)

滿足

𝑇 (𝟎_{𝑉}) = 𝟎_{𝑊}

，其中

𝟎_{𝑉}

与

𝟎_{𝑊}

分別爲

𝑉

與

𝑊

的加法單位元．

证明 .

由於 $𝟎_{𝑉} + 𝟎_{𝑉} = 𝟎_{𝑉}$ ，故

𝑇 (𝟎_{𝑉}) = 𝑇 (𝟎_{𝑉} + 𝟎_{𝑉}) = 𝑇 (𝟎_{𝑉}) + 𝑇 (𝟎_{𝑉})

(40)

因此， $𝑇 (𝟎_{𝑉})$ 是 $𝑊$ 中 $𝑇 (𝟎_{𝑉})$ 的加法單位元．由於加法單位元唯一，遂得 $𝑇 (𝟎_{𝑉}) = 𝟎_{𝑊}$ ． $∎$

這個命題表明，綫性映射將零向量映射到零向量．

命题 22.

𝑇 \in ℒ (𝑉, 𝑊)

，則

\ker 𝑇 ≔ {𝒙 \in 𝑉 | 𝑇 𝒙 = 𝟎_{𝑊}}

是

𝑉

的子空間．

证明 .

我們來證明它是 $𝑉$ 的子空間．

顯然 $𝟎_{𝑉} \in \ker 𝑇$ ．因為 $𝑇 (𝟎_{𝑉}) = 𝟎_{𝑊}$ ．
若 $𝒖, 𝒗 \in \ker 𝑇$ ，則 $𝑇 𝒖 = 𝟎_{𝑊}$ 且 $𝑇 𝒗 = 𝟎_{𝑊}$ ．因此

$𝑇 (𝒖 + 𝒗) = 𝑇 𝒖 + 𝑇 𝒗 = 𝟎_{𝑊} + 𝟎_{𝑊} = 𝟎_{𝑊}$
(41)

故 $𝒖 + 𝒗 \in \ker 𝑇$ ．
若 $𝒗 \in \ker 𝑇$ 且 $𝑎 \in 𝕂$ ，則 $𝑇 (𝑎 𝒗) = 𝑎 𝑇 𝒗 = 𝑎 𝟎_{𝑊} = 𝟎_{𝑊}$ ．

$∎$

我們稱綫形空間 $\ker 𝑇$ 為 $𝑇$ 的核空間或零空间．則命题 21 可重述爲 $𝟎_{𝑉} \in \ker 𝑇$ ．

命题 23.

$𝑇 \in ℒ (𝑉, 𝑊)$ ，則

𝑇 单射 \Leftrightarrow \ker 𝑇 = {𝟎}

(42)

证明 .

( $\Rightarrow$ ) 如果 $𝑇$ 是单射，則凡 $𝒗 \in \ker 𝑇$ ，有 $𝑇 𝒗 = 𝟎_{𝑊}$ ．又以命题 21， $𝑇 𝟎_{𝑉} = 𝟎_{𝑊}$ ．由於 $𝑇$ 是单射，遂得 $𝒗 = 𝟎_{𝑉}$ ．因此， $\ker 𝑇 = {𝟎}$ ．

( $\Leftarrow$ ) 如果 $\ker 𝑇 = {𝟎}$ ，則凡 $𝒖, 𝒗 \in 𝑉$ ，若 $𝑇 𝒖 = 𝑇 𝒗$ ，則 $𝑇 (𝒖 - 𝒗) = 𝟎$ ．于是 $𝒖 - 𝒗 = 𝟎$ ，即 $𝒖 = 𝒗$ ． $∎$

必要性其实很显然，由单射的定义一眼望穿．但充分性則展示了我们能從核空间的单射性质反推整个映射的单射性．

命题 24.

𝑇 \in ℒ (𝑉, 𝑊)

，則其像域

im 𝑇

是

𝑊

的子空間．其名爲

𝑇

的像空間．

证明 .

唯需证明 $𝟎 \in im 𝑇$ 且封闭于加法與純量乘法．

由於 $𝑇 (𝟎_{𝑉}) = 𝟎_{𝑊}$ ，故 $𝟎_{𝑊} \in im 𝑇$ ．
若 $𝒘_{1}, 𝒘_{2} \in im 𝑇$ ，則存在 $𝒗_{1}, 𝒗_{2} \in 𝑉$ ，使得 $𝑇 𝒗_{1} = 𝒘_{1}$ 且 $𝑇 𝒗_{2} = 𝒘_{2}$ ．因此

𝑎 𝒘_{1} + 𝑏 𝒘_{2} = 𝑎 𝑇 𝒗_{1} + 𝑏 𝑇 𝒗_{2} = 𝑇 (𝑎 𝒗_{1} + 𝑏 𝒗_{2})

(43)

$∎$

注意 .

GL (𝑉) ≔ {𝑇 \in ℒ (𝑉) | 𝑇 可逆}

是

𝑉

上的可逆子空間自同構羣．稱爲一般綫形羣．

不變子空間

設 $𝑉$ 爲綫形空間， $𝑇 \in ℒ (𝑉)$ ．子空間 $𝑈 \subseteq 𝑉$ 稱爲 $𝑇$ -不變，若 $𝑇 [𝑈] \subseteq 𝑈$ ．換言之， ${ 𝑇 |}_{𝑈}$ 是 $𝑈$ 上的自同態．

例 13.

以下幾個是不變子空間

${𝟎}$ – 因爲 $𝑇 (𝟎) = 𝟎$ ．
$𝑉$ – 因爲 $𝑉$ 是自身的子空間．
$\ker 𝑇$ – 因爲對任意 $𝒖 \in \ker 𝑇$ ， $𝑇 𝒖 = 𝟎 \in \ker 𝑇$ ．
$im 𝑇$ – 因爲對任意 $𝒗 \in im 𝑇 \subseteq 𝑉$ ， $𝑇 𝒗 \in im 𝑇$ ．

現在考慮一維不變子空間，設 $𝑈$ 是 $𝒗 \in 𝑉$ 張成的一維子空間．即

𝑈 = {𝜆 𝒗 | 𝜆 \in 𝕂} = span {𝒗}

(44)

如果 $𝑈$ 是 $𝑇$ -不變的，則對任意 $𝒖 \in 𝑈$ ， $𝑇 𝒖 \in 𝑈$ 即 $\exists 𝜆 \in 𝕂$ 使得

𝑇 𝒖 = 𝜆 𝒖

(45)

命题 25.

𝑊, 𝑉

都是

𝕂

上的綫性空間．則

𝑊 ≅ 𝑉 \Leftrightarrow \dim 𝑉 = \dim 𝑊

证明 .

( $\Rightarrow$ ) 設 $𝑓 : 𝑊 ⤖ 𝑉$ ． $𝐵 = {𝒗_{1}, \dots, 𝒗_{𝑛}}$ 是 $𝑉$ 的基．將欲證明 $𝑓 [𝐵] = {𝑓 (𝒗_{1}), \dots, 𝑓 (𝒗_{𝑛})}$ 是 $𝑊$ 的基． $𝐵$ 綫形無關，故 $\forall 𝒗_{𝑖} \in 𝐵$ 不二． $𝑓 (𝒗_{𝑖})$ 亦然， $𝑓$ 單射故也．故 $𝑛 = | 𝐵 | = | 𝑓 [𝐵] |$ ．

現在證明 $𝑓 [𝐵]$ 綫形獨立．設 $𝑎_{1}, \dots, 𝑎_{𝑛} \in 𝕂$ 而

𝑎_{1} 𝑓 (𝒗_{1}) + \dots + 𝑎_{𝑛} 𝑓 (𝒗_{𝑛}) = 𝟎_{𝑊}

(46)

則左邊

𝑓 (𝑎_{1} 𝒗_{1} + \dots + 𝑎_{𝑛} 𝒗_{𝑛}) = 𝟎_{𝑊}

(47)

以命题 21，又 $𝑓$ 單映，若且僅若 $𝑎_{1} 𝒗_{1} + \dots + 𝑎_{𝑛} 𝒗_{𝑛} = 𝟎_{𝑉}$ 時上式成真．因 $𝐵$ 綫形獨立故 $𝑎_{1} = \dots = 𝑎_{𝑛} = 0$ ．故 $𝑓 [𝐵]$ 綫形獨立．

現在證明 $𝑓 [𝐵]$ 張成 $𝑊$ ．設 $𝒘 \in 𝑊$ ．因爲 $𝑓$ 是滿映，故 $\exists 𝒗 \in 𝑉$ 使 $𝑓 (𝒗) = 𝒘$ ．又因 $𝐵$ 張成 $𝑉$ ，故 $\exists 𝑎_{1}, \dots, 𝑎_{𝑛} \in 𝕂$ 使得 $𝒗 = 𝑎_{1} 𝒗_{1} + \dots + 𝑎_{𝑛} 𝒗_{𝑛}$ 而

𝒘 = 𝑓 (𝒗) = 𝑓 (𝑎_{1} 𝒗_{1} + \dots + 𝑎_{𝑛} 𝒗_{𝑛}) = 𝑎_{1} 𝑓 (𝒗_{1}) + \dots + 𝑎_{𝑛} 𝑓 (𝒗_{𝑛})

(48)

故 $𝑓 [𝐵]$ 張成 $𝑊$ ．故 $\dim 𝑉 = | 𝐵 | = | 𝑓 [𝐵] | = \dim 𝑊$ ．

( $\Leftarrow$ ) 設 $\dim 𝑉 = \dim 𝑊 = 𝑛$ ．設 $𝐵_{𝑉} = {𝒗_{1}, \dots, 𝒗_{𝑛}} \subseteq 𝑉$ 與 $𝐵_{𝑊} = {𝒘_{1}, \dots, 𝒘_{𝑛}} \subseteq 𝑊$ 分別爲 $𝑉$ 與 $𝑊$ 的基．定義映射 $𝑓 : 𝑉 \to 𝑊$ 如下：對於 $𝒗 = 𝑎_{1} 𝒗_{1} + \dots + 𝑎_{𝑛} 𝒗_{𝑛}$

𝑓 (𝒗) ≔ 𝑎_{1} 𝒘_{1} + \dots + 𝑎_{𝑛} 𝒘_{𝑛}

(49)

於是 $𝑓$ 爲綫形映射，且顯然爲雙射．因爲可以相同的思路構造出 $𝑊 \to 𝑉$ 的綫形映射爲 $𝑓$ 的逆． $∎$