线性空间 - Uwni'Space

我们以前学习线性代数时，都是以具体的方式进行的，比如解线性方程、矩阵运算等．在本章中，我们将学习线性空间的抽象概念，它是向量和矩阵的推广．首先，你可能会问，为什么我们需要学习如此抽象的概念？请看下面的例子．

我们至少在高中时就学习过向量，如位移、速度、力等．实际上，当我们说向量时，我们的第一印象是它们必须有两个或三个分量，代表平面或空间中的一个点．但是在学习了线性代数之后，我们了解到像 $(1, 2, 3, 4, 5)$ 这样的东西也是向量，尽管我们无法想象它在现实世界中的物理圖像．

所以，基本上，将向量的概念改变为任意数量的分量，是对原始概念的推广或抽象．这样我们可以用新定义处理更多内容，但代价是失去一些物理意义．在本讲中，我们将重复这个过程，进一步抽象向量的概念，以便我们能够找出其中一些共同的、通用的或一般的属性．

让我们回顾一下从 $𝗥^{3}$ 到 $𝗥^{𝑛}$ 的抽象过程，在这里，我将给出一个更严格的定义，作为让你熟悉代数结构的第一步．

回想一下，如果给定一个像 $(𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑)$ 这样的结构，这是一个向量吗？不，绝对不是．实际上，它只是一个元组，即元素的有序有限序列或列表．顺便说一下，你也可以用有序对来构造它．虽然我们通常默认将其视为向量，那是因为我们可以以非常自然的方式在其上定义加法和标量乘法．但是仅使用元组的结构，我们无法对其进行任何操作，除非你事先定义一些．例如，如果你尝试运行

python

(1, 2, 3) + (1, 2, 3)

(1, 2, 3) + (1, 2, 3)

在 Python 中，它将返回 (1, 2, 3, 1, 2, 3)，而如果你尝试在纸上写 $(1, 2, 3) + (4, 5, 6)$ ，读者会默认认为它是 $(1 + 4, 2 + 5, 3 + 6)$ ．这是因为对于编程语言来说，+ 运算符被重载为连接两个元组．但对于数学，特别是在座標空间中，+ 运算符被定义为逐个元素相加．所以你会明白，在使用之前声明或至少知道符号的确切含义是很重要的，否则你会感到困惑．所以，元组不是向量，但我们可以在其上定义向量结构，然后它就成为向量了．

向量的应用

然后，让我们回到向量的话题．例如，我们知道力可以分解为两个正交分量，我们用这个来分析力学问题．为什么我们可以这样做？因为力是一个向量．但类似地，正弦信号

𝐴 \cos (𝜔 𝑡 + 𝜑) = 𝐴 \cos 𝜑 \cos 𝜔 𝑡 - 𝐴 \sin 𝜑 \sin 𝜔 𝑡

(1)

可以分解为两个分量 $\sin 𝜔 𝑡$ 和 $\cos 𝜔 𝑡$ ，我们通常使用星座图来表示这种分解．你有没有注意到这两种情况之间的相似性？因此，我们今天的目标是提出一个结构来处理所有类似的情况．

从上面这两个例子来看，看起来像列表既不是成为向量的充分条件（因为列表上的加法不一定是向量加法），也不是必要条件（因为即使某些东西看起来不像列表，比如函数或多项式，它仍然可以表现得完全像向量）．那么，最终，什么是向量？我们应该如何定义向量？

ALT — 图 1 （Hermann Günther Graßmann，1809-1877）线性代数的父亲之一．他在1844年发表了《线性代数的扩展理论》（Die Ausdehnungslehre），形式化了线性代数的基本概念

在这里，我们将首先介绍域的概念，它是我们用来定义线性空间的基本代数结构．

域简介

在我们开始讨论向量本身之前，让我们从一个更基本的概念开始．我们的故事将从集合开始，它是数学的基本构建块．假设有一个集合 $𝑆$ ．它太平凡（无聊）了，就像我们上面提到的元组一样．仅使用一个集合，我们几乎什么都做不了．

所以，我们想在集合 $𝑆$ 上定义一个二元运算，它是一个将集合的两个元素映射到集合本身的函数．

定义 1.

（二元运算）

集合 $𝑆$ 上的二元运算 $𝐴$ 是一个函数

𝐴 : 𝑆 \times 𝑆 \to 𝑆

(2)

以下是一些二元运算的例子：

例 1.

（一些二元运算的例子）

在 $𝗥$ 上定义的 $+, -, \times$ ，（ $/$ 是二元运算吗？）
在集合上定义的 $\cup, \cap$ 也是二元运算．（ $\subseteq, \subset$ 是二元运算吗？）
在 ${⊤, ⊥}$ 上定义的 $\land, \lor, \oplus$ ，（ $\neg$ 是二元运算吗？）

然后我们可以定义¹ 域是一个具有两个二元运算（加法和乘法）的集合 $𝑆$ ，它满足某些性质．注意，“加法”和“乘法”这些名称只是名称，它们不一定意味着与实数的加法和乘法相同．重要的是这些运算满足某些性质，然后“加法”和“乘法”满足以下性质．

定义 2.

（域）

域是一个具有两个二元算子 $+$ 和 $\cdot$ 的集合 $𝑆$ ，使得凡 $𝑎, 𝑏, 𝑐 \in 𝑆$

加法的结合律: $(𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐)$
加法的交换律: $𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎$
加法单位元²: $\exists 0 (𝑎 + 0 = 𝑎)$
加法逆元: $\forall 𝑎 \exists 𝑏 (𝑎 + 𝑏 = 0)$
乘法的结合律: $(𝑎 \cdot 𝑏) \cdot 𝑐 = 𝑎 \cdot (𝑏 \cdot 𝑐)$
乘法的交换律: $𝑎 \cdot 𝑏 = 𝑏 \cdot 𝑎$
乘法单位元: $𝑎 \cdot 1 = 𝑎$
乘法逆元: $𝑎 \neq 0 \Rightarrow \exists 𝑏 (𝑎 \cdot 𝑏 = 1)$
乘法对加法的分配律: $𝑎 \cdot (𝑏 + 𝑐) = 𝑎 \cdot 𝑏 + 𝑎 \cdot 𝑐$

证明 .

（

0 + 𝑎 = 𝑎

）

显然．根据公理 2．

∎

实际上，我们称满足上述前 4 个性质的结构 $(𝑆, +)$ 为交換羣，或Abel 群．所以，如果我们定义阿贝尔群，那么可以给出一个更简单的定义，

定义 3.

一个具有两个阿贝尔群的集合，

(𝑆, +)

用于加法，

(𝑆 ∖ {0}, \cdot)

用于乘法，并且乘法对加法具有分配性．那么我们称之为域，记为

(𝑆, + \cdot)

．

域最常见的例子是分数，你可以很容易地验证分数满足域的所有性质．实数也是一个域，复数也是．

例 2.

（域的例子）

$𝗤$ （分数）
$𝗥$ （实数）
$𝗖$ （复数）

同时，整数不是域，因为它们对于所有非零元素都没有乘法逆元（例如 $\frac{1}{2} \notin 𝗭$ ），自然数甚至不是群 [任务：搜索群的定义，并说明原因．]．

向量空间

现在我们准备好定义什么是向量空间了．

定义 4.

（向量空间）

在 $𝕂$ 上的向量空间 $𝑉$ ，由一个集合 $𝑉$ （其元素称为向量）和一个域 $𝕂$ （其元素称为标量），以及以下两个二元映射组成：

向量加法: $+ : 𝑉 \times 𝑉 \to 𝑉$
标量乘法: $\cdot : 𝕂 \times 𝑉 \to 𝑉$

这些运算必须满足以下公理．对于向量 $𝒖, 𝒗, 𝒘 \in 𝑉$ 和标量 $𝑎, 𝑏 \in 𝕂$ ，对于向量加法 $+$

结合: $(𝒖 + 𝒗) + 𝒘 = 𝒖 + (𝒗 + 𝒘)$
对易: $𝒖 + 𝒗 = 𝒗 + 𝒖$
有单位元: 存在 $𝟎 \in 𝑉$ 使得对所有 $𝒗 \in 𝑉$ 有 $𝒗 + 𝟎 = 𝒗$
有逆元: 对于每个 $𝒗 \in 𝑉$ ，存在 $𝒘 \in 𝑉$ 使得 $𝒗 + 𝒘 = 𝟎$

换句话说，如果我们重用定义， $(𝑉, +_{𝑉}, 𝟎)$ 是一个阿贝尔群．而对于标量乘法：

结合: $𝑎 (𝑏 𝒗) = (𝑎 𝑏) 𝒗$
有单位元³: $1 𝒗 = 𝒗$
对向量加法分配: $𝑎 (𝒖 + 𝒗) = 𝑎 𝒖 + 𝑎 𝒗$
对标量加法分配: $(𝑎 + 𝑏) 𝒗 = 𝑎 𝒗 + 𝑏 𝒗$

如果不引起混淆， $\cdot$ 可以省略，如 $𝑎 𝒗 ≔ 𝑎 \cdot 𝒗$ ．注意，这八个公理完全表征了我们所说的向量空间的含义．如果一个集合 $𝑉$ 及其运算在某个域 $𝕂$ 上满足这些公理，那么我们称它为 $𝕂$ 上的向量空间．

现在，我们终于可以回答这个问题了，什么是向量？答案很简单但很抽象：向量是向量空间的一个元素．而向量空间是由上述八个公理定义的．

现在让我们看一些具体的例子，看看这个抽象定义如何应用于熟悉和不太熟悉的情况．

例 3.

（座标空间

𝗥^{𝑛}

）

最熟悉的例子是

𝗥^{𝑛} = {(𝑥_{1}, 𝑥_{2}, \dots, 𝑥_{𝑛}) | 𝑥_{𝑖} \in 𝗥}

(3)

在域 $𝗥$ 上．这里：

向量加法： $(𝑥_{1}, \dots, 𝑥_{𝑛}) + (𝑦_{1}, \dots, 𝑦_{𝑛}) = (𝑥_{1} + 𝑦_{1}, \dots, 𝑥_{𝑛} + 𝑦_{𝑛})$
标量乘法： $𝑎 \cdot (𝑥_{1}, \dots, 𝑥_{𝑛}) = (𝑎 𝑥_{1}, \dots, 𝑎 𝑥_{𝑛})$
加法单位元： $(0, 0, \dots, 0)$
加法逆元： $(- 𝑥_{1}, \dots, - 𝑥_{𝑛})$

你可以验证所有八个公理都得到满足．

例 4.

（多项式）

令 $𝒫_{𝑛} (𝗥)$ 为所有次数至多为 $𝑛$ 的实系数多项式的集合：

𝒫_{𝑛} (𝗥) = {𝑎_{0} + 𝑎_{1} 𝑥 + 𝑎_{2} 𝑥^{2} + \dots + 𝑎_{𝑛} 𝑥^{𝑛} | 𝑎_{𝑖} \in 𝗥}

(4)

这里：

向量加法： $(𝑎_{0} + 𝑎_{1} 𝑥 + \dots) + (𝑏_{0} + 𝑏_{1} 𝑥 + \dots) = (𝑎_{0} + 𝑏_{0}) + (𝑎_{1} + 𝑏_{1}) 𝑥 + \dots$
标量乘法： $𝑐 \cdot (𝑎_{0} + 𝑎_{1} 𝑥 + \dots) = (𝑐 𝑎_{0}) + (𝑐 𝑎_{1}) 𝑥 + \dots$
加法单位元： $0 = 0 + 0 𝑥 + 0 𝑥^{2} + \dots$
加法逆元： $- (𝑎_{0} + 𝑎_{1} 𝑥 + \dots) = (- 𝑎_{0}) + (- 𝑎_{1}) 𝑥 + \dots$

注意多项式在几何意义上看起来不像“向量”，但仍然满足所有向量空间公理！

例 5.

（函数）

令 $𝕂^{𝑆}$ 为从非空集合 $𝑆$ 到 $𝕂$ 的所有函数的集合．我们定义 $\forall 𝑓, 𝑔 \in 𝕂^{𝑆}$

加法： $(𝑓 + 𝑔) (𝑥) = 𝑓 (𝑥) + 𝑔 (𝑥)$
标量乘法： $(𝑐 \cdot 𝑓) (𝑥) = 𝑐 \cdot 𝑓 (𝑥)$
加法单位元：常函数 $0 (𝑥) = 0$ 对所有 $𝑥 \in 𝑆$
加法逆元： $(- 𝑓) (𝑥) = - 𝑓 (𝑥)$

则 $𝕂^{𝑆}$ 是 $𝕂$ 上的向量空间．

这也构成了 $𝕂$ 上的向量空间．函数可以被认为是非常抽象意义上的“向量”，其中“分量”是域中每个点处的函数值．我们可以将这个函数向量空间限制为函数的子集，同时仍然满足向量空间公理．

例 6.

（连续函数）

令 $𝐶 (𝐼)$ 为定义在区间 $𝐼 \to 𝕂$ 上的所有连续函数的集合．结构的定义基本上与例 5 中相同，但具有函数在区间 $𝐼$ 上连续的附加性质．

𝐶 (𝐼) = {𝑓 \in 𝕂^{𝐼} | (\forall 𝑥_{0} \in 𝐼) \lim_{𝑥 \to 𝑥_{0}} 𝑓 (𝑥) = 𝑓 (𝑥_{0})}

(5)

根据连续函数的性质，我们知道两个连续函数的和也是连续的，连续函数的标量乘法也是连续的．所以这个集合也构成了 $𝕂$ 上的向量空间．

此外，令 $𝐶^{1} (𝐼)$ 为所有连续可微函数⁴ $𝐼 \to 𝕂$ 的集合．结构的定义类似，但具有函数具有連續一階導數的附加性质．类似地，我们可以将 $𝐶^{𝑛} (𝐼)$ 定义为具有连续导数直到 $𝑛$ 阶的所有函数的集合．

它们都是 $𝕂$ 上的向量空间．证明留给读者作为练习．

这是我们开始时的例子！

例 7.

（线性微分方程的解）

微分方程

{𝑦 \in 𝕂^{𝐼} | 𝑦^{(𝑛)} + 𝑎_{𝑛 - 1} 𝑦^{(𝑛 - 1)} + \dots + 𝑎_{1} 𝑦^{'} + 𝑎_{0} 𝑦 = 0}

(6)

的所有解的集合是 $𝕂$ 上的向量空间．其中 $𝑎_{𝑖} \in 𝕂$ 是已知系数．加法和标量乘法的定义与例 5 中相同．

这个向量空间的一些有用性质可以直接从定义（公理）中推导出来．这些性质在使用之前应该被证明．它们显然是真的，但证明起来相当棘手．

命题 1.

（唯一的加法单位元）

向量空间有唯一的加法单位元．

证明 .

假设向量空间

𝑉

中有两个加法单位元

𝟎_{1}

和

𝟎_{2}

．那么：

𝟎_{1} + 𝟎_{2} = 𝟎_{1}

（根据加法单位元的定义）但同时，

𝟎_{2} + 𝟎_{1} = 𝟎_{2}

（根据相同的定义）因此，

𝟎_{1} = 𝟎_{2}

（根据加法的交换律）．

∎

命题 2.

（唯一的加法逆元）

向量空间中的每个元素都有唯一的加法逆元．

证明 .

假设 $𝑉$ 是一个向量空间．令 $𝒗 \in 𝑉$ ．假设 $𝒘$ 和 $𝒘^{'}$ 是 $𝒗$ 的加法逆元．那么

𝒘 = 𝒘 + 𝟎 = 𝒘 + (𝒗 + 𝒘^{'}) = (𝒘 + 𝒗) + 𝒘^{'} = 𝟎 + 𝒘^{'} = 𝒘^{'}

(7)

$∎$

根据加法单位元的唯一性，符号 $- 𝒗$ 被良好定义为 $𝒗$ 的唯一加法逆元．我们可以将减法运算定义为 $𝒗 - 𝒘 = 𝒗 + (- 𝒘)$ ．

命题 3.

对于每个

𝒗 \in 𝑉

，

0 𝒗 = 𝟎

证明 .

令 $𝒗 \in 𝑉$ ．根据标量乘法的定义，我们有： $0 𝒗 = (0 + 0) 𝒗 = 0 𝒗 + 0 𝒗$ 假设 $- 0 𝒗$ 是 $0 𝒗$ 的加法逆元，使得 $0 𝒗 + (- 0 𝒗) = 𝟎$ ．那么我们有：

𝟎 = 0 𝒗 + (- 0 𝒗) = 0 𝒗 + 0 𝒗 + (- 0 𝒗) = 0 𝒗

(8)

$∎$

命题 4.

对于每个

𝑎 \in 𝕂

，

𝑎 𝟎 = 𝟎

．

证明 .

令 $𝑎 \in 𝕂$ 和 $𝟎 \in 𝑉$ 为加法单位元．那么： $𝑎 𝟎 = 𝑎 (𝟎 + 𝟎) = 𝑎 𝟎 + 𝑎 𝟎$ 根据加法单位元的定义，我们有： $𝑎 𝟎 + (- 𝑎 𝟎) = 𝟎$ 因此，

𝟎 = 𝑎 𝟎 + (- 𝑎 𝟎) = 𝑎 𝟎 + 𝑎 𝟎 + (- 𝑎 𝟎) = 𝑎 𝟎

(9)

$∎$

命题 5.

对于每个

𝒗 \in 𝑉

，

(- 1) 𝒗 = - 𝒗

．

证明 .

𝒗 + (- 1) 𝒗 = 1 𝒗 + (- 1) 𝒗 = (1 + (- 1)) 𝒗 = 0 𝒗 = 𝟎

(10)

这个等式说明 $(- 1) 𝒗$ 与 $𝒗$ 相加得到 $𝟎$ ．因此 $(- 1) 𝒗$ 是 $𝒗$ 的加法逆元，如所愿． $∎$

子空间

现在我们理解了向量空间，让我们谈谈子空间．子空间本质上是“向量空间中的向量空间”．

定义 5.

（子空间）

设

𝑉

是

𝕂

上的向量空间．

𝑈 \subseteq 𝑉

被称为

𝑉

的子空间，如果

𝑈

與

{​ \cdot |}_{𝑈 \times 𝑈}

和

{​ + |}_{𝕂 \times 𝑈}

亦构成

𝕂

上的向量空间．

命题 6.

集合 $𝑈 \subseteq 𝑉$ 是 $(𝑉, 𝕂)$ 的子空间，当且仅当：

$𝟎 \in 𝑈$
$𝑈$ 对向量加法封闭： $\forall 𝒖, 𝒗 \in 𝑈, 𝒖 + 𝒗 \in 𝑈$
$𝑈$ 对标量乘法封闭： $\forall 𝒗 \in 𝑈, \forall 𝑎 \in 𝕂, 𝑎 𝒗 \in 𝑈$

证明 .

( $\to$ ) 依定义显然成立

( $\leftarrow$ ) 假设 $𝑈$ 满足上述三条件．(1) 确保 $𝑈$ 非空且有加法单位元 $𝟎$ ．(2) 确保 $+ [𝑈 \times 𝑈] = 𝑈$ ．（3）确保 $\cdot [𝕂 \times 𝑈] = 𝑈$ ．如果 $𝒖 \in 𝑈$ ，那么 $- 𝒖$ （根据命题 5 等于 $(- 1) 𝒖$ ）也在 $𝑈$ 中．因此 $𝑈$ 的每个元素都在 $𝑈$ 中有加法逆元．向量空间定义的其他部分，如结合律和交换律，对于 $𝑈$ 自动满足，因为它们在更大的空间 $𝑉$ 上成立．因此 $𝑈$ 是一个向量空间，因此是 $𝑉$ 的子空间． $∎$

注意，如果满足这三个条件，那么 $𝑊$ 自动从 $𝑉$ 继承所有向量空间公理，所以 $(𝑊, 𝐹)$ 本身就是一个向量空间．同时，如果 $𝑊$ 是 $𝑉$ 的子集但不满足这些条件，它就不是子空间．

例 8.

（通过原点的直线）

在 $𝗥^{2}$ 中，任何通过原点的直线都构成一个子空间．例如：

𝑈 = {(𝑥, 𝑦) \in 𝗥^{2} | 𝑦 = 2 𝑥} = {(𝑡, 2 𝑡) | 𝑡 \in 𝗥}

(11)

你可以验证：

$(0, 0) \in 𝑈$
如果 $(𝑡_{1}, 2 𝑡_{1}), (𝑡_{2}, 2 𝑡_{2}) \in 𝑈$ ，那么 $(𝑡_{1}, 2 𝑡_{1}) + (𝑡_{2}, 2 𝑡_{2}) = (𝑡_{1} + 𝑡_{2}, 2 (𝑡_{1} + 𝑡_{2})) \in 𝑈$
如果 $(𝑡, 2 𝑡) \in 𝑈$ 且 $𝑎 \in 𝗥$ ，那么 $𝑎 \cdot (𝑡, 2 𝑡) = (𝑎 𝑡, 2 𝑎 𝑡) \in 𝑈$

类似地， $𝗥^{3}$ 中任何通过原点的平面或直线都是子空间．但请注意，那些不通过原点的不是子空间．

例 9.

（偶/奇函数）

在向量空间 $𝕂^{𝑆}$ 中，偶/奇函数的集合构成一个子空间．

它包含 $0 (𝑥) = 0$ 函数．
如果 $𝑓 (𝑥)$ 和 $𝑔 (𝑥)$ 是偶/奇的，那么 $(𝑓 + 𝑔) (𝑥) = 𝑓 (𝑥) + 𝑔 (𝑥)$ 也是偶/奇的．
如果 $𝑓 (𝑥)$ 是偶/奇的且 $𝑐 \in 𝗥$ ，那么 $(𝑐 𝑓) (𝑥) = 𝑐 𝑓 (𝑥)$ 也是偶/奇的．

例 10.

（连续函数）

区间 $𝐼$ 上所有连续函数的集合 $𝐶 (𝐼)$ 构成所有函数的向量空间 $𝕂^{𝐼}$ 的子空间．

常值函数 $0 (𝑥) = 0$ 在 $𝐶 (𝐼)$ 中
如果 $𝑓, 𝑔 \in 𝐶 (𝐼)$ ，那么 $(𝑓 + 𝑔) (𝑥) = 𝑓 (𝑥) + 𝑔 (𝑥)$ 也是连续的，所以 $𝑓 + 𝑔 \in 𝐶 (𝐼)$
如果 $𝑓 \in 𝐶 (𝐼)$ 且 $𝑐 \in 𝗥$ ，那么 $(𝑐 𝑓) (𝑥) = 𝑐 𝑓 (𝑥)$ 也是连续的，所以 $𝑐 𝑓 \in 𝐶 (𝐼)$

例 11.

（齐次线性微分方程的解）

例 7 中线性齐次微分方程的所有解的集合构成函数向量空间的子空间．

零函数是一个解（平凡解）．
如果 $𝑦_{1}$ 和 $𝑦_{2}$ 是解，那么 $(𝑦_{1} + 𝑦_{2}) (𝑥) = 𝑦_{1} (𝑥) + 𝑦_{2} (𝑥)$ 也是解．
如果 $𝑦$ 是解且 $𝑐 \in 𝗥$ ，那么 $(𝑐 𝑦) (𝑥) = 𝑐 𝑦 (𝑥)$ 也是解．

子空间的和

现在让我们谈谈两个子空间的和．给定向量空间 $𝑉$ 的两个子空间 $𝑈$ 和 $𝑊$ ，它们的和，记为 $𝑈 + 𝑊$ ，定义为：

定义 6.

（子空间的和）

向量空间 $𝑉$ 的两个子空间 $𝑈$ 和 $𝑊$ 的和是集合：

𝑈 + 𝑊 = {𝒖 + 𝒘 | 𝒖 \in 𝑈, 𝒘 \in 𝑊}

(12)

但请注意 $𝑈 \cup 𝑊$ 与 $𝑈 + 𝑊$ 不同．和 $𝑈 + 𝑊$ 本身是一个向量空间，它包含 $𝑈$ 和 $𝑊$ 中向量的所有可能和，而 $𝑈 \cup 𝑊$ 只是组合两个子空间的元素，所以它不一定是向量空间．

例 12.

假设 $𝑈$ 是 $𝗥^{2}$ 中形式为 $(𝑥, 0)$ 的所有向量的子空间，而 $𝑊$ 是形式为 $(0, 𝑦)$ 的所有向量的子空间．那么：

𝑈 + 𝑊 = {(𝑥, 𝑦) | 𝑥 \in 𝗥, 𝑦 \in 𝗥} = 𝗥^{2}

(13)

构成 $𝗥^{2}$ 平面，而 $𝑈 \cup 𝑊 = {(𝑥, 0) | 𝑥 \in 𝗥} \cup {(0, 𝑦) | 𝑦 \in 𝗥}$ 只是 $𝑥$ 轴和 $𝑦$ 轴的并集，这不是向量空间．

命题 7.

（子空间的和是包含它们的最小子空间）

𝑉

的子空间

𝑉_{1}, \dots, 𝑉_{𝑚}

的和

𝑉_{1} + \dots + 𝑉_{𝑚}

是包含

𝑉_{1}, \dots, 𝑉_{𝑚}

中每一个的

𝑉

的最小子空间．

证明 .

读者可以验证 $𝑉_{1} + \dots + 𝑉_{𝑚}$ 包含加法单位元 $𝟎$ 并且对加法和标量乘法封闭．因此它是 $𝑉$ 的子空间．

子空间 $𝑉_{1}, \dots, 𝑉_{𝑚}$ 都包含在 $𝑉_{1} + \dots + 𝑉_{𝑚}$ 中（要看到这一点，考虑和 $𝒗_{1} + \dots + 𝒗_{𝑚}$ ，其中除了一个 $𝒗_{𝑘}$ 之外的所有都是 $𝟎$ ）．相反，包含 $𝑉_{1}, \dots, 𝑉_{𝑚}$ 的 $𝑉$ 的每个子空间都包含 $𝑉_{1} + \dots + 𝑉_{𝑚}$ （因为子空间必须包含其元素的所有有限和）．因此 $𝑉_{1} + \dots + 𝑉_{𝑚}$ 是包含 $𝑉_{1}, \dots, 𝑉_{𝑚}$ 的 $𝑉$ 的最小子空间． $∎$

線形組合

设 $𝑉$ 的非空子集 $𝑆$ ，對於 $𝒗_{𝑖} \in 𝑆$ ， $𝑎_{𝑖} \in 𝕂$ ，稱式

𝑎_{1} 𝒗_{1} + \dots + 𝑎_{𝑛} 𝒗_{𝑛}

(14)

為 $𝑆$ 的线性组合．其中 $𝑎_{𝑖}$ 稱為係數，如果係數全為 $0$ ，則稱平凡，根据向量的加法和标量乘法，线性组合本身也是 $𝑉$ 的一个元素．考慮方程

𝑎_{1} 𝒗_{1} + \dots + 𝑎_{𝑛} 𝒗_{𝑛} = 𝟎

(15)

若存在非平凡線形組合滿足方程，則稱 $𝑆$ 線形相關．否則稱線形獨立．

命题 8.

含

𝟎

的集合必线性相关．

证明 .

顯然．

∎

$𝑆$ 所有線形組合之集合記作

span 𝑆 ≔ {\sum_{𝑖 = 1}^{𝑛} 𝑎_{𝑖} 𝒗_{𝑖} | 𝑎_{𝑖} \in 𝕂, 𝒗_{𝑖} \in 𝑆}

(16)

稱 $𝑆$ 為 $span 𝑆$ 的張集．又稱 $𝑆$ 張成 $span 𝑆$ ．至於有序的元组 $(𝒗_{𝑖})$ ，以加法的交换性，其线性组合的值与其顺序无关，是故定义 $span (𝒗_{𝑖}) ≔ span {𝒗_{𝑖}}$ ．

命题 9.

span 𝑆

是

𝑉

於

𝕂

之子空間．

证明 .

我們需要驗證 $𝑆$ 滿足子空間的三個條件：

$𝟎 \in 𝑆$ ：因為 $\forall 𝑎_{𝑖} = 0$ ， $𝟎 = 0 \cdot 𝒗_{1} + \dots + 0 \cdot 𝒗_{𝑛} \in 𝑆$ ．
對於任意 $𝒖, 𝒗 \in 𝑆$ ，有 $𝒖 + 𝒗 \in 𝑆$ ：因為 $𝒖$ 和 $𝒗$ 都是 $𝑆$ 的線形組合，所以它們的和也是 $𝑆$ 的線形組合，因此 $𝒖 + 𝒗 \in 𝑆$ ．
對於任意 $𝒗 \in 𝑆$ 和 $𝑎 \in 𝕂$ ，有 $𝑎 𝒗 \in 𝑆$ ：因為 $𝒗$ 是 $𝑆$ 的線形組合，所以 $𝑎 𝒗$ 也是 $𝑆$ 的線形組合，因此 $𝑎 𝒗 \in 𝑆$ ．

因此， $span 𝑆$ 是 $𝑉$ 的子空間．稱為 $𝑆$ 的張空間． $∎$

同一个向量可以有不同的线性组合表示．现在思考如下的线性组合：

1 𝒙 + 0 𝒚 + 3 𝒛

(17)

3 𝒙 + 3 𝒛 - 2 𝒙

(18)

他们自然是同一个向量，但是同一个线性组合吗？从字符串的角度来看他们显然不同．但通过简单化简都能化成同一个线性组合．再来考虑如果 $𝒚 = 𝒙 + 𝒛$ ，那么同一个向量亦能用 $0 𝒙 + 1 𝒚 + 2 𝒛$ 表示．但这个线性组合无法直接化简成 $𝒙 + 3 𝒛$ ，与前两个显然不同．为了避免混淆这种縱使同一个向量的线性组合因为插入 0 项，拆项等造成的字符串排列不同而实际上相同的情况，我们引入下面的定义．

如果 $𝑉 ∋ 𝒗$ 可以唯一地表示為 $𝑆$ 的線形組合

𝒗 = 𝑎_{1} 𝒗_{1} + \dots + 𝑎_{𝑘} 𝒗_{𝑘}

(19)

其中 $𝑖 \neq 𝑗 \to 𝒗_{𝑖} \neq 𝒗_{𝑗}$ ， $𝑎_{𝑖} \neq 0$ ．则称之为本質唯一的线性组合．

命题 10.

（线性无关的充要条件）

向量集 $𝑆 \neq {𝟎}$ ．以下三命题等价：

$𝑆$ 线性无关．
$span 𝑆$ 中非零向量皆是 $𝑆$ 的本質唯一线性组合．
$𝑆$ 中任一向量皆非其余向量的线性组合．

证明 .

(1 → 2)

𝟎 \neq 𝑎_{1} 𝒔_{1} + \dots + 𝑎_{𝑛} 𝒔_{𝑛} = 𝑏_{1} 𝒕_{1} + \dots + 𝑏_{𝑚} 𝒕_{𝑚}

(20)

其中各项系数皆非零，且向量皆不同．现在等号两端相减并合并同类项，得到

\begin{matrix} 𝟎 = & (𝑎_{𝑖_{1}} - 𝑏_{𝑗_{1}}) 𝒔_{𝑖_{1}} + \dots + (𝑎_{𝑖_{𝑘}} - 𝑏_{𝑗_{𝑘}}) 𝒔_{𝑖_{𝑘}} \\ + 𝑎_{𝑖_{𝑘 + 1}} 𝒔_{𝑖_{𝑘 + 1}} + \dots + 𝑎_{𝑖_{𝑛}} 𝒔_{𝑖_{𝑛}} \\ - 𝑏_{𝑗_{𝑘 + 1}} 𝒕_{𝑗_{𝑘 + 1}} - \dots - 𝑏_{𝑗_{𝑚}} 𝒕_{𝑗_{𝑚}} \end{matrix}

(21)

由于 (1) 成立，得知所有系数均为零，从而只有第一行的同类项， $𝑛 = 𝑚 = 𝑘$ 并且 $𝑎_{𝑖_{𝑙}} = 𝑏_{𝑗_{𝑙}}$ ， $𝒔_{𝑖_{𝑙}} = 𝒕_{𝑗_{𝑙}}$ 对所有 $𝑙 = 1, \dots, 𝑘$ 成立．

(2 → 3) 使用反證法．假設 $𝑆 = {𝒔} ⊔ {𝒔_{1}, \dots, 𝒔_{𝑛}}$ 而

𝒔 = 𝑎_{1} 𝒔_{1} + \dots + 𝑎_{𝑛} 𝒔_{𝑛}

(22)

合並同類項後，因還可以線形組合爲 $𝒔 = 1 𝒔$ ，必然牴觸於 (2) 而得證．

(3 → 1) 使用反證法．假設 $𝑆 = {𝒔_{1}, \dots, 𝒔_{𝑛}}$ 線形相關，方程

𝟎 = 𝑎_{1} 𝒔_{1} + \dots + 𝑎_{𝑛} 𝒔_{𝑛}

(23)

有非凡解， $\exists 𝑎_{𝑘} \neq 0$

𝒔_{𝑘} = - \frac{1}{𝑎_{𝑘}} (𝑎_{1} 𝒔_{1} + \dots + 𝑎_{𝑘 - 1} 𝒔_{𝑘 - 1} + 𝑎_{𝑘 + 1} 𝒔_{𝑘 + 1} + \dots + 𝑎_{𝑛} 𝒔_{𝑛})

(24)

與 (3) 矛盾而得證． $∎$

命题 11.

（Steinitz 交換引理）

向量空间

𝑉

中，向量集

{𝒍_{1}, \dots, 𝒍_{𝑛}}

线性无关，集

{𝒔_{1}, \dots, 𝒔_{𝑚}}

张成

𝑉

．然則存在

1 \leq 𝑖_{𝑛 + 1} < \dots < 𝑖_{𝑚} \leq 𝑚

，而集合

{𝒍_{1}, \dots, 𝒍_{𝑛}, 𝒔_{𝑖_{𝑛 + 1}}, \dots, 𝒔_{𝑖_{𝑚}}}

張成

𝑉

．

证明 .

當 $𝑛 = 0$ 時，顯然成立．我們對 $𝑛$ 使用數學歸納法．假設對於 $𝑛 - 1$ 成立，即 ${𝒍_{1}, \dots, 𝒍_{𝑛 - 1}, 𝒔_{𝑖_{𝑛}}, \dots, 𝒔_{𝑖_{𝑚}}}$ 張成 $𝑉$ ．現在考慮 $𝑛$ ． ${𝒍_{1}, \dots, 𝒍_{𝑛}}$ 线性独立， $𝒍_{𝑛}$ 非零，故能表示為 $𝒍_{1}, \dots, 𝒍_{𝑛 - 1}, 𝒔_{𝑖_{𝑛}}, \dots, 𝒔_{𝑖_{𝑚}}$ 的非平凡線形組合

𝒍_{𝑛} = 𝑎_{1} 𝒍_{1} + \dots + 𝑎_{𝑛 - 1} 𝒍_{𝑛 - 1} + 𝑎_{𝑛} 𝒔_{𝑖_{𝑛}} + \dots + 𝑎_{𝑚} 𝒔_{𝑖_{𝑚}}

(25)

存在 $𝑘 \in [𝑛, 𝑚], 𝑎_{𝑘} \neq 0$ ．否则上式只余 $𝒍_{1}, \dots, 𝒍_{𝑛}$ 诸项，与其线性独立性矛盾．

從而

𝒔_{𝑖_{𝑘}} = \frac{1}{𝑎_{𝑘}} (𝒍_{𝑛} - 𝑎_{1} 𝒍_{1} - \dots - 𝑎_{𝑛 - 1} 𝒍_{𝑛 - 1} - \dots - 𝑎_{𝑘 - 1} 𝒔_{𝑖_{𝑘 - 1}} - 𝑎_{𝑘 + 1} 𝒔_{𝑖_{𝑘 + 1}} - \dots)

(26)

因爲任何向量 $𝒗 \in 𝑉$ 可表示為 $𝒍_{1}, \dots, 𝒍_{𝑛}, 𝒔_{𝑖_{𝑛 + 1}^{'}}, \dots, 𝒔_{𝑖_{𝑚}^{'}}$ 的線形組合:

\begin{matrix} 𝒗 = & 𝑏_{1} 𝒍_{1} + \dots + 𝑏_{𝑛 - 1} 𝒍_{𝑛 - 1} + 𝑏_{𝑛} 𝒔_{𝑖_{𝑛}} + \dots + 𝑏_{𝑘} 𝒔_{𝑖_{𝑘}} + \dots + 𝑏_{𝑚} 𝒔_{𝑖_{𝑚}} \\ = & 𝑏_{1} 𝒍_{1} + \dots + 𝑏_{𝑛 - 1} 𝒍_{𝑛 - 1} + 𝑏_{𝑛} 𝒔_{𝑖_{𝑛}} + \dots \\ + \frac{𝑏_{𝑘}}{𝑎_{𝑘}} (𝒍_{𝑛} - 𝑎_{1} 𝒍_{1} - \dots - 𝑎_{𝑛 - 1} 𝒍_{𝑛 - 1} - \dots - 𝑎_{𝑘 - 1} 𝒔_{𝑖_{𝑘 - 1}} - 𝑎_{𝑘 + 1} 𝒔_{𝑖_{𝑘 + 1}} - \dots) \\ + \dots + 𝑏_{𝑚} 𝒔_{𝑖_{𝑚}} \\ = & (𝑏_{1} - 𝑎_{1} \frac{𝑏_{𝑘}}{𝑎_{𝑘}}) 𝒍_{1} + \dots + (𝑏_{𝑛 - 1} - 𝑎_{𝑛 - 1} \frac{𝑏_{𝑘}}{𝑎_{𝑘}}) 𝒍_{𝑛 - 1} + \frac{𝑏_{𝑘}}{𝑎_{𝑘}} 𝒍_{𝑛} \\ + (𝑏_{𝑛} - 𝑎_{𝑛} \frac{𝑏_{𝑘}}{𝑎_{𝑘}}) 𝒔_{𝑖_{𝑛}} + \dots + (𝑏_{𝑘 - 1} - 𝑎_{𝑘 - 1} \frac{𝑏_{𝑘}}{𝑎_{𝑘}}) 𝒔_{𝑖_{𝑘 - 1}} \\ + (𝑏_{𝑘 + 1} - 𝑎_{𝑘 + 1} \frac{𝑏_{𝑘}}{𝑎_{𝑘}}) 𝒔_{𝑖_{𝑘 + 1}} + \dots + (𝑏_{𝑚} - 𝑎_{𝑚} \frac{𝑏_{𝑘}}{𝑎_{𝑘}}) 𝒔_{𝑖_{𝑚}} \end{matrix}

(27)

其中索引重排列为

𝑖_{𝑙}^{'} = {\begin{matrix} 𝑖_{𝑙 - 1} & if 𝑙 \leq 𝑘 \\ 𝑖_{𝑙} & if 𝑙 > 𝑘 \end{matrix}

(28)

于是，尋得 $1 \leq 𝑖_{𝑛 + 1}^{'} < \dots < 𝑖_{𝑚}^{'} \leq 𝑚$ 从而 $span {𝒍_{1}, \dots, 𝒍_{𝑛}, 𝒔_{𝑖_{𝑛 + 1}^{'}}, \dots, 𝒔_{𝑖_{𝑚}^{'}}} = 𝑉$ ，命題於 $𝑛$ 成立． $∎$

命题 12.

（推論 1）

向量集

𝐿

线性无关，集

𝑆

张成

𝑉

．然則

| 𝐿 | \leq | 𝑆 |

．

基

向量集 $𝐵$ 稱為向量空間 $(𝑉, 𝕂)$ 的基集，簡稱基，若

$𝐵$ 張成 $𝑉$ ；
$𝐵$ 線形無關．

命题 13.

（推論 2）

𝑉

有有限張集，

𝐵_{1}, 𝐵_{2}

为基，则

| 𝐵_{1} | = | 𝐵_{2} |

．

证明 .

由於

𝐵_{1}

張成

𝑉

，而

𝐵_{2}

線形無關，依命题 11 知

| 𝐵_{2} | \leq | 𝐵_{1} |

．同理，

𝐵_{2}

張成

𝑉

，而

𝐵_{1}

線形無關，亦可得

| 𝐵_{1} | \leq | 𝐵_{2} |

．綜合兩不等式，遂得

| 𝐵_{1} | = | 𝐵_{2} |

．

∎

因此，向量空間之基也勢皆相等，稱為維度． $𝑉$ 的維度記爲 $\dim 𝑉$ ．

命题 14.

（基的性质）

$𝑉$ 是線形空間，然則下列命题等价:

$𝐵$ 是 $𝑉$ 的基．
$𝑉$ 所有非零向量皆是 $𝐵$ 的本質唯一线性组合．
$𝐵$ 是 $𝑉$ 的最小張集．
$𝐵$ 是 $𝑉$ 的最大綫性無關集．

证明 .

(1 ↔ 2) 由命题 10 (2) 知，命题成立．

(1 → 3) 根据定义，我们知道 $𝐵$ 是 $𝑉$ 的張集，然後我們來證明，他是最小的．

$∎$

命题 15.

$𝑉$ 是非 ${𝟎}$ 向量空間． $𝐿$ 是 $𝑉$ 中的線形無關集， $𝑆$ 是 $𝑉$ 的張集． $𝐿 \subseteq 𝑆$ ．則有基 $𝐵$ ，使得 $𝐿 \subseteq 𝐵 \subseteq 𝑆$ ．即

任何非 ${𝟎}$ 向量空間有基．
任何綫性無關集皆含於某基中．
任何張集皆含有某基．

命题 16.

𝑉

是有限维綫性空間，

𝑆

是向量集合，

| 𝑆 | = \dim 𝑉

．若

𝑆

張成

𝑉

，則

𝑆

線形獨立，反之亦然．

证明 .

由命题 15 得知，存在基 $𝐵$ ，使得 $𝐵 \subseteq 𝑆$ ．因 $| 𝑆 ∖ 𝐵 | = | 𝑆 | - | 𝐵 | = 0$

𝑆 = 𝐵 ⊔ (𝑆 ∖ 𝐵) = 𝐵 \cup \emptyset = 𝐵

(29)

$∎$

線形映射

我們定義線形映射爲綫性空間間的同態（即保持加法和純量乘法）．而線形算子則是自同構．其他課本中或稱線形算子爲線形變換．或稱線形映射爲線形變換．爲了避免混淆，我們棄之不用．

設 $(𝑉, 𝕂)$ 與 $(𝑊, 𝕂)$ 爲 $𝕂$ 上的綫性空間．映射 $𝑇 : 𝑉 \to 𝑊$ 稱爲從 $𝑉$ 到 $𝑊$ 的線形映射，或者說 $𝑉$ 到 $𝑊$ 的線形同態，若對任意 $𝒖, 𝒗 \in 𝑉$ 與 $𝑎 \in 𝕂$ ，皆有

$𝑇 (𝒖 + 𝒗) = 𝑇 (𝒖) + 𝑇 (𝒗)$
$𝑇 (𝑎 𝒗) = 𝑎 𝑇 (𝒗)$

將所有的線形映射從 $𝑉$ 到 $𝑊$ 的集合記作 $ℒ (𝑉, 𝑊)$ ．如果 $𝑉 = 𝑊$ ，則稱爲 $𝑉$ 上的線形算子，或曰 $𝑉$ 上的自同態． $𝑉$ 上線形算子的集合記作 $ℒ (𝑉)$ ．

將 $ℒ (𝑉, 𝕂)$ 中的線形映射稱爲 $𝑉$ 上的線形泛函．並且可以記該線形空間爲 $𝑉^{*}$ ，稱爲 $𝑉$ 的對偶空間．

命题 17.

線形映射

𝑇 \in ℒ (𝑉, 𝑊)

滿足

𝑇 (𝟎_{𝑉}) = 𝟎_{𝑊}

，其中

𝟎_{𝑉}

与

𝟎_{𝑊}

分別爲

𝑉

與

𝑊

的加法單位元．

证明 .

由於 $𝟎_{𝑉} + 𝟎_{𝑉} = 𝟎_{𝑉}$ ，故

𝑇 (𝟎_{𝑉}) = 𝑇 (𝟎_{𝑉} + 𝟎_{𝑉}) = 𝑇 (𝟎_{𝑉}) + 𝑇 (𝟎_{𝑉})

(30)

因此， $𝑇 (𝟎_{𝑉})$ 是 $𝑊$ 中 $𝑇 (𝟎_{𝑉})$ 的加法單位元．由於加法單位元唯一，遂得 $𝑇 (𝟎_{𝑉}) = 𝟎_{𝑊}$ ． $∎$

命题 18.

𝑇 \in ℒ (𝑉, 𝑊)

，則

\ker 𝑇 ≔ {𝒙 \in 𝑉 | 𝑇 𝒙 = 𝟎_{𝑊}}

是

𝑉

的子空間．

证明 .

我們來證明它是 $𝑉$ 的子空間．

顯然 $𝟎_{𝑉} \in \ker 𝑇$ ．因為 $𝑇 (𝟎_{𝑉}) = 𝟎_{𝑊}$ ．
若 $𝒖, 𝒗 \in \ker 𝑇$ ，則 $𝑇 vectorunit = 𝟎_{𝑊}$ 且 $𝑇 𝒗 = 𝟎_{𝑊}$ ．因此

$𝑇 (vectorunit + 𝒗) = 𝑇 vectorunit + 𝑇 𝒗 = 𝟎_{𝑊} + 𝟎_{𝑊} = 𝟎_{𝑊}$
(31)

故 $𝒖 + 𝒗 \in \ker 𝑇$ ．
若 $𝒗 \in \ker 𝑇$ 且 $𝑎 \in 𝕂$ ，則 $𝑇 (𝑎 𝒗) = 𝑎 𝑇 𝒗 = 𝑎 𝟎_{𝑊} = 𝟎_{𝑊}$ ．

$∎$

我們稱綫性空間 $\ker 𝑇$ 為 $𝑇$ 的核空間或零空间．

不變子空間

設 $(𝑉, 𝕂)$ 爲綫性空間， $𝑇 \in ℒ (𝑉)$ ．子空間 $𝑈 \subseteq 𝑉$ 稱爲 $𝑇$ -不變，若對任意 $𝒖 \in 𝑈$ ，皆有 $𝑇 𝒖 \in 𝑈$ ．換言之， $𝑇$ 在 $𝑈$ 上封閉， ${ 𝑇 |}_{𝑈} \in ℒ (𝑈)$ ．

例 13.

以下幾個是不變子空間

${𝟎}$ – 因爲 $𝑇 (𝟎) = 𝟎$ ．
$𝑉$ – 因爲 $𝑉$ 是自身的子空間．
$\ker 𝑇$ – 因爲對任意 $𝒖 \in \ker 𝑇$ ， $𝑇 𝒖 = 𝟎 \in \ker 𝑇$ ．
$im 𝑇$ – 因爲對任意 $𝒗 \in im 𝑇 \subseteq 𝑉$ ， $𝑇 𝒗 \in im 𝑇$ ．

現在考慮一維不變子空間，設 $𝑈$ 是 $𝒗 \in 𝑉$ 張成的一維子空間．即

𝑈 = {𝜆 𝒗 | 𝜆 \in 𝕂} = span {𝒗}

(32)

如果 $𝑈$ 是 $𝑇$ -不變的，則對任意 $vectorunit \in 𝑈$ ， $𝑇 vectorunit \in 𝑈$ 即 $\exists 𝜆 \in 𝕂$ 使得

𝑇 vectorunit = 𝜆 vectorunit

(33)