矩陣分析 - Uwni'Space

矩陣的指數函數

如同 $\exp$ 函数在实数与复数域上的定义一样、我们可以定义矩阵的 $\exp$ 函数为

\exp (𝑨) ≔ \lim_{𝑘 \to \infty} (𝑰 + \frac{1}{1!} 𝑨 + \dots + \frac{1}{𝑘!} 𝑨^{𝑘})

(1)

通常來說、直接計算矩陣的 $\exp$ 函數是比較困難的．然而對於一些特殊的矩陣、還是比較容易的、比如、若 $𝑫$ 是一個對角矩陣

𝑫 = (\begin{matrix} 𝜆_{1} \\ ⋱ \\ 𝜆_{𝑛} \end{matrix})

(2)

因 $e^{𝑥}$ 在 $𝗖$ 和 $𝗥$ 上都是解析函數．所以

\exp (𝑫) = (\begin{matrix} \sum_{𝑘 = 0}^{\infty} \frac{𝜆_{1}^{𝑘}}{𝑘!} \\ ⋱ \\ \sum_{𝑘 = 0}^{\infty} \frac{𝜆_{𝑛}^{𝑘}}{𝑘!} \end{matrix}) = (\begin{matrix} e^{𝜆_{1}} \\ ⋱ \\ e^{𝜆_{𝑛}} \end{matrix})

(3)

若 $𝑨$ 是可對角化的、也就是說、 $𝑨 = 𝑷^{- 1} 𝑫 𝑷$ ．我們將會發現

\begin{matrix} \exp (𝑨) & = \exp (𝑷 𝑫 𝑷^{- 1}) \\ = \lim_{𝑘 \to \infty} 𝑰 + \frac{1}{1!} 𝑷 𝑫 𝑷^{- 1} + \dots + \frac{1}{𝑘!} 𝑷 𝑫^{𝑘} 𝑷^{- 1} \\ = \lim_{𝑘 \to \infty} 𝑷 (𝑰 + \frac{1}{1!} 𝑫 + \dots + \frac{1}{𝑘!} 𝑫^{𝑘}) 𝑷^{- 1} \\ = 𝑷 \exp (𝑫) 𝑷^{- 1} \\ = 𝑷 (\begin{matrix} e^{𝜆_{1}} \\ ⋱ \\ e^{𝜆_{𝑛}} \end{matrix}) 𝑷^{- 1} \end{matrix}

(4)

其中 $𝜆_{1}, \dots, 𝜆_{𝑛}$ 是 $𝑨$ 的本徵值．

矩陣值函數

類似向量值函數的定義、矩陣值函數是值爲矩陣的函數 $𝑨 (𝑥) : 𝑡 \mapsto (𝑎_{𝑖 𝑗} (𝑥))$ ．定義對矩陣函數求導即對其每個元素求（偏）導．

(5)

其中

可寫爲

或

𝑨^{'}

．

\partial \frac{𝑨}{\partial} 𝑡

可寫爲

\partial_{𝑡} 𝑨

．

命題 1.

是

{(𝕂^{𝑚 \times 𝑛})}^{𝕂}

上的線形算子．

線形微分方程

命題 2.

（存在唯一定理）

$𝑨 (𝑥)$ 、 $𝒇 (𝑥)$ 各元素在 $𝐼 ≔ (𝑎, 𝑏)$ 上連續． $𝑥_{0} \in 𝐼$ 、 $𝒚_{0} \in 𝗥^{𝑛}$ ．初值問題

(5)

在 $𝐼$ 上存在唯一解．

是定理之證明需要 Picard-Lindelöf 定理．此處略．

命題 3.

（解空間的維度）

$𝑛$ 階齊次線性微分方程組

(5)

的解集 $𝑆$ 是 $𝗥$ 上的 $𝑛$ 維向量空間．

註 .

你可能因爲代數方程組的經驗而以爲微分方程組的解空間的維度和

𝑨

的秩相關．實則不然．雖使

𝑨 = 𝑶

, 解空間

的維度仍然是

𝑛

．

證 .

顯然 $𝑆$ 是線形空間．並且任取 $𝑥_{0} \in (𝑎, 𝑏)$ ．則由存在唯一性定理可知、 $\forall 𝒚_{0} \in 𝗥^{𝑛}, \exists^{1} 𝒚 \in 𝑆, 𝒚 (𝑥_{0}) = 𝒚_{0}$ ．於是、我們可以定義從初值到解的映射

𝐻 : 𝗥^{𝑛} ∋ 𝒚_{0} \mapsto 𝒚 \in 𝑆

(6)

任取 $𝒚_{1}^{0}, 𝒚_{2}^{0} \in 𝗥^{𝑛}, 𝑐_{1}, 𝑐_{2} \in 𝗥$ 、設

𝒚_{1} = 𝐻 (𝒚_{1}^{0}), 𝒚_{2} = 𝐻 (𝒚_{2}^{0})

(7)

$𝑐_{1} 𝒚_{1} + 𝑐_{2} 𝒚_{2}$ 是方程的解、且 $(𝑐_{1} 𝒚_{1} + 𝑐_{2} 𝒚_{2}) (𝑥_{0}) = 𝑐_{1} 𝒚_{1}^{0} + 𝑐_{2} 𝒚_{2}^{0}$ ．於是

𝐻 (𝑐_{1} 𝒚_{1}^{0} + 𝑐_{2} 𝒚_{2}^{0}) = 𝑐_{1} 𝒚_{1} + 𝑐_{2} 𝒚_{2} = 𝑐_{1} 𝐻 (𝒚_{1}^{0}) + 𝑐_{2} 𝐻 (𝒚_{2}^{0})

(8)

因此、 $𝐻$ 是一個線性映射．因爲不同的初值對應不同的解、 $𝐻$ 是單映．又因爲任意解 $𝒚 \in 𝑆$ 、 $𝒚 (𝑥_{0}) \in 𝗥^{𝑛}$ 、從而 $𝐻 (𝒚 (𝑥_{0})) = 𝒚$ 、故 $𝐻$ 是滿映．由是、 $𝐻$ 是一個線性同構．從而 $\dim 𝑆 = 𝑛$ ． $∎$

命題 4.

（推論）

方程

式

(5)

在

(𝑎, 𝑏)

上有

𝑛

個線性獨立的解

𝒚_{1}, \dots, 𝒚_{𝑛}

、則通解爲

𝒚 = 𝑐_{1} 𝒚_{1} + \dots + 𝑐_{𝑛} 𝒚_{𝑛}

(9)

證 .

由命題 3 知解空間是

𝑛

維的．故此線形獨立的解

𝒚_{1}, \dots, 𝒚_{𝑛}

是解空間的一組基．故任意解均可表示爲其線性組合．

∎

我們以解向量 $𝒚$ 組合成矩陣函數 $𝒀 (𝑥) = (𝒚_{1} (𝑥), \dots, 𝒚_{𝑛} (𝑥))$ 稱爲解矩陣．如果這組解線形獨立、則稱 $𝒀 (𝑥)$ 爲基解矩陣．如此以命題 4 通解可寫成基解矩陣和常向量

的乘積

𝒚 (𝑥) = 𝒀 (𝑥) 𝒄

(10)

以此、我們解方程就是尋找其基解矩陣．

常係數微分方程

考慮一階常係數齊次微分方程、即

式

(5)

中的

𝑨 (𝑥)

是一個常矩陣

𝑨

．方程可寫成

𝒚^{'} = 𝑨 𝒚

(11)

其中 $𝑨 \in 𝕂^{𝑛 \times 𝑛}$ 是一個常方陣．

命題 5.

矩陣指數函數

Φ (𝑥) = \exp (𝑥 𝑨)

是方程

式

(11)

的標準基解矩陣．

證 .

∎

因此、我們的問題變成了如何計算 $Φ (𝑥)$ 以求得方程

式

(11)

的通解．然而由級數定義的矩陣指數函數並不容易計算．

欲解此方程、我們先尋找再示其唯一的思路來找到完整的解．我們依照經驗、猜測解的形式爲

𝒚 (𝑥) = (\begin{matrix} 𝑢_{1} e^{𝜆 𝑥} \\ ⋮ \\ 𝑢_{𝑛} e^{𝜆 𝑥} \end{matrix}) = e^{𝜆 𝑥} 𝒖

(12)

其中

是待定常向量、

𝜆 \in 𝕂

是待定係數．於是

e^{𝜆 𝑥} 𝒖

是解当且仅当

𝜆 e^{𝜆 𝑥} 𝒖 = 𝒚^{'} = 𝑨 𝒚 = 𝑨 e^{𝜆 𝑥} 𝒖

(13)

等价于求 $𝑨$ 的本徵值問題

𝑨 𝒖 = 𝜆 𝒖

(14)

解得本徵值 $𝜆_{1}, \dots, 𝜆_{𝑛}$ 和對應的本徵向量 $𝒖_{1}, \dots, 𝒖_{𝑛}$ ．如此、 $e^{𝜆_{1} 𝑥} 𝒖_{1}, \dots, e^{𝜆_{𝑛} 𝑥} 𝒖_{𝑛}$ 都是方程

式

(11)

的解．如果特徵值兩兩不同、則這些解線性獨立、構成方程的基解矩陣．

高階常係數微分方程

我們考慮 $𝑦 (𝑥)$ 的 $𝑛$ 階線形微分方程

𝑦^{(𝑛)} + 𝑎_{𝑛 - 1} (𝑥) 𝑦^{(𝑛 - 1)} + \dots + 𝑎_{1} (𝑥) 𝑦^{'} + 𝑎_{0} (𝑥) 𝑦 = 𝑓 (𝑥)

(15)

其中 $𝑎_{1}, \dots, 𝑎_{𝑛}, 𝑓 \in 𝐶 (𝑎, 𝑏)$ ．當 $𝑓 (𝑥) ≢ 0$ 時、稱其爲非齊次方程、否則稱其爲齊次方程．若定義

(16)

則方程轉化爲

(16)