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線性代數#Math#Algebra

譜定理

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本页内容
定義 LA13.
可对角化的算子
我们说 𝑉 上的一个算子是可对角化的．则在 𝑉 的某组基下算子的表示矩阵是对角矩阵．
定義 LA14.
正规算子
算子 𝑇 与其伴随 𝑇⊹ 交换，即 𝑇𝑇⊹=𝑇⊹𝑇，则称 𝑇 是正规算子．

自伴随算子是正规的．因为根据定义 𝑇=𝑇⊹，所以 𝑇𝑇⊹=𝑇⊹𝑇． 幺正算子是正规的．因为根据性质 𝑇⊹𝑇=𝑇𝑇⊹=𝐼，所以 𝑇 是正规的．

命題 LA46.
實譜定理

若 𝑉 是實數域上的线性空間，𝑇∈ℒ︀(𝑉)．则以下三命题等价：

  1. 𝑇 是自伴随算子．
  2. 𝑇 是可正交对角化的．
  3. 𝑇 的特征向量构成 𝑉 的一个正交基．
證 .

∎

命題 LA47.
推论
设 𝑨 是 𝑛 阶实对称矩阵，则存在一个正交矩阵 𝑷 以对角化 𝑨，即 𝑷𝑇𝑨𝑷 是对角矩阵．
證 .
𝑨 是实矩阵空间中的自伴随算子．因为 𝑨 是實對稱的所以 𝑨=𝑨=(𝑨)𝖳=𝑨⊹．所以根據前命題，𝑨 可正交對角化，即存在一组正交基，使得其表示矩阵为對角陣 𝑫 ∎
命題 LA48.
複譜定理

若 𝑉 是复數域上的线性空間，𝑇∈ℒ︀(𝑉)．则以下三命题等价：

  1. 𝑇 是正规算子．
  2. 𝑇 是可正交对角化的．
  3. 𝑇 的特征向量构成 𝑉 的一个正交基．
命題 LA49.
推论
设 𝑯 是 𝑛 阶厄米矩阵，则存在一个幺正矩阵 𝑼，对角化 𝑯，即 𝑼⊹𝑯𝑼 是对角矩阵．

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