論數集 - Uwni'Space

本章議數集之建構及諸性質．數集者、蓋數之集合也．數集之有、始於自然數．自然數之有、始於人數物之需．人數物以計其數、故有自然數也．自然數者、其性自然．人之所創者、記號而已矣．今之數學需以形式論理之、故欲明自然數之義、必議以公理．

數學之發展、非獨賴自然數也．蓋自然數之有、猶樹之有根本也．樹之有枝葉、賴根本而生也．數學之有他數集、賴自然數而立也．故分析學之始、必自自然數論也．

論自然數

公理 1.

（Peano 算數公理系統）

算數語言 $ℒ_{AR} = {0, 𝑆, =}$ , $0$ 常符也、曰「零」． $𝑆$ 一元函數符也、曰後繼． $=$ 等價關係也、曰「相等」． $𝑥, 𝑦, \dots$ 變元也．並以公理

(PA1) ~ (PA3) 曰一階 Peano 公理．將 (PA3) 換為 (PA3*) 則曰二階 Peano 公理．後文所述皆用二階．算數之構既成而加、乘之義未立也． $ℒ_{AR}$ 外、加號 $+$ , 乘號 $\times$ , 小於號 $\leq$ 之義、以中綴記遞歸謂之如下：

定義 1.

（加法）

$𝑥 + 0 ≔ 𝑥$ ; 謂加零得其數也
$𝑥 + 𝑆 (𝑦) ≔ 𝑆 (𝑥 + 𝑦)$ ; 謂加後繼得和之後繼也

註：為了體現還原論的精神、我們這裡採用了 5 公理版本的基本 PA 公理系統、 $+$ , $\times$ 不在 $ℒ_{AR}$ 中．因此不能固然保證對於任何 $𝑥 + 𝑦$ 皆「有定義」、即表示 $ℒ_{AR}$ 中一項 (term)．此實良義也．蓋凡 $𝑥$ 、可證加法於 $𝑦$ 皆有定義．設 $𝑃 (𝑦) ≔ 𝑥 + 𝑦 有定義$ 、若 $𝑦 = 0$ 、則依 (1) 知有定義也．若 $𝑥 + 𝑦$ 有定義、則以 (2) 而 $𝑥 + 𝑆 (𝑦)$ 亦有定義．由 PA3 知全有定義也．

有關乘法之公理:

公理 2.

$ℒ_{AR}$ -結構之適二階 PA 公理系統者 $𝔑 ⊧ {PA}_{2}$ 、標準模型也．其論域曰「自然数集」．但注意滿足一階 PA 的结构不全是标准模型、比如下例

然則確有合 $𝔑$ 之造乎？一例「最小歸納集」也．對任意集合 $𝑥$ , 稱集合 $𝑥 \cup {𝑥}$ 爲 $𝑥$ 之後繼、記爲 $𝑆 (𝑥)$ ．

公理 3.

（ZFC6 無窮公理）

存在集合 $𝑋$ 、 $\emptyset \in 𝑋$ 、並且 $𝑋$ 元素之後繼亦在其中．即

\exists 𝑋 (\emptyset \in 𝑋 \land \forall 𝑥 \in 𝑋, 𝑆 (𝑥) \in 𝑋)

(1)

\begin{matrix} 0 & ≔ \emptyset \\ 1 & ≔ 𝑆 (0) = {0} = {\emptyset} \\ 2 & ≔ 𝑆 (1) = {0, 1} = {\emptyset, {\emptyset}} \\ 3 & ≔ 𝑆 (2) = {0, 1, 2} = {\emptyset, {\emptyset}, {\emptyset, {\emptyset}}} \\ ⋮ \end{matrix}

(2)

集合 $𝑋$ 之適

\emptyset \in 𝑋 \land \forall 𝑥 \in 𝑋, 𝑆 (𝑥) \in 𝑋

(3)

者謂之歸納集．則無窮公理可謂：有歸納集．可見凡歸納集、 $0 = \emptyset$ 為之所有．

凡二階 Peano 算數之模型同構．是為 Dedekind (1888) 所證明．謂同構意義上自然數集不二．

例 1.

察時針之刻、 $𝑁^{'} ≔ {子, 丑, 寅, 卯, 辰, 巳, 午, 未, 申, 酉, 戌, 亥}$ , $0^{'} ≔ 子$ ． $𝑆$ 以進一刻．然則 $子 = 𝑆 (亥)$ 、是以違於 $𝑁_{0}$ 而不 PA 適也．

復察下例、 $𝑁^{'} ≔ {♥︎, ♦︎, ♣︎, ♠︎}$ , $0^{'} ≔ ♥︎$ ．設 $𝑆$ 其義如下． $♦︎ = 𝑆 ♥︎ = 𝑆 ♠︎$ 違於 $𝑁_{1}$ 而不適 PA 也．

命題 1.

𝑆 : 𝗡 ↠ 𝗡^{*}

．即

\forall 𝑛 \in 𝗡^{*}, \exists 𝑚 \in 𝗡, 𝑆 𝑚 = 𝑛

證 .

設

𝑀 ≔ im 𝑆 \cup {0} = {𝑛 \in 𝗡^{*} | \exists 𝑛^{'} \in 𝗡, 𝑆 𝑛^{'} = 𝑛} \cup {0}

．若

𝑚 \in 𝑀 \subseteq 𝗡

𝑆 𝑚 \in im 𝑆 \subseteq 𝑀

．由

𝑁_{1}

知

𝑀 = 𝗡 = 𝗡^{*} \cup {0}

．以

0 \notin im 𝑆

im 𝑆 = 𝗡^{*}

故

𝑆

滿射、足可明矣．

∎

序

加法既立、則可定義自然數之序．

定義 2.

（序關係）

凡自然數

𝑛, 𝑚

、若有

𝑘 \in 𝗡

使

𝑛 = 𝑚 + 𝑘

、則曰

𝑚

小於等於

𝑛

、記

𝑚 \leq 𝑛

．若

𝑘 \neq 0

、則曰

𝑚

小於

𝑛

、記

𝑚 < 𝑛

．

此序關係全序也、凡自然數皆可相較也．

證 .

此序關係為全序、須證四性：

綜上、凡 $⊢ 𝑃 (𝑛) \Rightarrow 𝑃 (𝑆 (𝑛))$ ．由是、據歸納公理、完全性得證． $∎$

記數法

然加法既成、尚需記數之法以表之．吾人所習用者、十進位制也．蓋以十為基、逢十進一．所用數碼、印度-阿拉伯數字也、凡十、曰 ${0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$ ．

定義 3.

（十進位表示法）

凡自然數 $𝑛 \in 𝗡$ 、其十進位表示乃一字符串 $𝑠_{𝑘} 𝑠_{𝑘 - 1} \dots 𝑠_{1} 𝑠_{0}$ 、其 $𝑠_{𝑖}$ 皆為數碼．此串之值、定義如下：

𝑛 = \sum_{𝑖 = 0}^{𝑘} 𝑠_{𝑖} \times 10^{𝑖}

(4)

其 $10$ 為 $𝑆 (9)$ ．此式建立自然數與數碼串之對應．

此映射如何構造？可以遞歸為之．凡 $𝑛 \in 𝗡$ 、其記數 $𝑓 (𝑛)$ 定義為：

若 $𝑛 < 10$ 、則 $𝑓 (𝑛)$ 為對應之數碼．如 $𝑓 (𝑆 (0))$ 為 “1”．
若 $𝑛 \geq 10$ 、則以帶餘除法可得 $𝑛 = 𝑞 \times 10 + 𝑟$ 、其 $0 \leq 𝑟 < 10$ ．則 $𝑓 (𝑛)$ 為 $𝑓 (𝑞)$ 與 $𝑓 (𝑟)$ 之拼接．

若、欲求 $123$ 之表示．

$123 = 12 \times 10 + 3$
$12 = 1 \times 10 + 2$
$1 = 0 \times 10 + 1$

由是、 $𝑓 (123)$ 為 $𝑓 (12)$ 拼接 $𝑓 (3)$ 、即 $𝑓 (1)$ 拼接 $𝑓 (2)$ 再拼接 $𝑓 (3)$ 、終得 “123”．

至此、抽象之自然數集方有吾人熟識之形態．

論整數

相等關係

𝑎 - 𝑏 = 𝑐 - 𝑑 \Leftrightarrow 𝑎 + 𝑑 = 𝑏 + 𝑐

(5)

凡自然數 $𝑛$ 、察對射於 $𝗡 ⤖ {𝑛 - 0 | 𝑛 \in 𝗡}$ 上者 $𝑛 \mapsto 𝑛 - 0$ ．知整數之形如 $𝑛 - 0$ 者同構於 $𝗡$ 也．故可以整數 $𝑛$ 記自然數 $𝑛 - 0$ 而無虞也．逆元

- 𝑎 ≔ 0 - 𝑎

(6)

分數論

相等關係

𝑎 / / 𝑏 = 𝑐 / / 𝑑 \Leftrightarrow 𝑎 𝑑 = 𝑏 𝑐

(7)

必有

(\exists 𝑥 / / 𝑦 \in [𝑎 / / 𝑏]) \gcd (𝑥, 𝑦) = 1

(8)

約式、或曰最簡分式、分式之子母互素者也．例如 $\frac{1}{1}$ 、 $\frac{2}{3}$ 、 $\frac{5}{8}$ ．以其子母皆最小、立爲 $\frac{𝗤}{=}$ 之代表元也．稠性: $𝑎$

實數論

請問、正方形之對角線長 $𝑙$ 幾何? 以勾股定理知 $𝑙^{2} = 2$ 、擬其長以一分數之約式 $𝑙 = \frac{𝑝}{𝑞}$

\begin{matrix} 𝑙^{2} = 2 \Leftrightarrow 𝑝^{2} = 2 𝑞^{2} \Leftrightarrow 2 ∣ 𝑝^{2} \Leftrightarrow 2 ∣ 𝑝 \\ \Leftrightarrow \exists 𝑝^{'} (𝑝 = 2 𝑝^{'}) \Leftrightarrow 2 𝑝^{' 2} = 𝑞^{2} \Leftrightarrow 2 ∣ 𝑞^{2} \Leftrightarrow 2 ∣ 𝑞 \end{matrix}

(9)

$𝑝$ 與 $𝑞$ 皆偶數、而 $\frac{𝑝}{𝑞}$ 非約式也．故知 $𝑙$ 非分數之屬也．以Ἵππασος之初覺爲嚆矢、分數之遺缺始昭於天下矣．此所以分數不可以度量也．

另察一例、有集分數其平方皆小於 $2$ 者

𝗤_{< \sqrt{2}} ≔ {𝑥 \in 𝗤 | 𝑥^{2} < 2}

(10)

即知有上界也．而無上確界．擬以歸謬法證之：設其上確界爲 $\overset{̅}{𝑥}$ 、則 $\forall 𝑥 \in 𝗤_{< \sqrt{2}}, \overset{̅}{𝑥} \geq 𝑥$ 、

\forall 𝜀 > 0, \exists 𝑦 \in 𝗤_{< \sqrt{2}}, \overset{̅}{𝑥} - 𝜀 < 𝑦

(11)

由全序關係之三歧性知

若 ${\overset{̅}{𝑥}}^{2} = 2$ : 證偽
若 ${\overset{̅}{𝑥}}^{2} > 2$ 、需證明 $\exists 𝑦 \in 𝗤_{< \sqrt{2}}, 𝑦 < \overset{̅}{𝑥}$ 、設 $𝑦 = \overset{̅}{𝑥} - 𝜀$ 、並使 $𝑦^{2} > 2$ ．即 $𝑦$ 爲上界而甚小耳．

${(\overset{̅}{𝑥} - 𝜀)}^{2} \geq 2 \Leftrightarrow {\overset{̅}{𝑥}}^{2} - 2 \overset{̅}{𝑥} 𝜀 + 𝜀^{2} > 2 \Leftarrow {\overset{̅}{𝑥}}^{2} - 2 \overset{̅}{𝑥} 𝜀 \geq 2 \Leftrightarrow 𝜀 \leq \frac{{\overset{̅}{𝑥}}^{2} - 2}{2 \overset{̅}{𝑥}}$
(12)

不妨取 $𝜀 = \frac{{\overset{̅}{𝑥}}^{2} - 2}{2 \overset{̅}{𝑥}}$ 、即爲證
若 ${\overset{̅}{𝑥}}^{2} < 2$ 、需證明 $\exists 𝑦 \in 𝗤_{< \sqrt{2}}, 𝑦 > \overset{̅}{𝑥}$ 、設 $𝑦 = \overset{̅}{𝑥} + 𝜀$ ．即 $\overset{̅}{𝑥}$ 乃非上界耳．

$𝑦^{2} = {(\overset{̅}{𝑥} + 𝜀)}^{2} \leq 2 \Leftrightarrow {\overset{̅}{𝑥}}^{2} + 2 \overset{̅}{𝑥} 𝜀 + 𝜀^{2} < 2 \Leftarrow {\overset{̅}{𝑥}}^{2} + 2 \overset{̅}{𝑥} 𝜀 \leq 2 \Leftrightarrow 𝜀 \leq \frac{2 - {\overset{̅}{𝑥}}^{2}}{2 \overset{̅}{𝑥}}$
(13)

不妨取 $𝜀 = \frac{2 - {\overset{̅}{𝑥}}^{2}}{2 \overset{̅}{𝑥}}$ 、即爲證

故知 $𝗤_{< \sqrt{2}}$ 上確界之不存也．

二例．

𝗤_{< 2} ≔ {𝑥 \in 𝗤 | 𝑥^{2} < 4}

(14)

可知 $𝑥 \geq 2$ 皆上界也、而 $\sup 𝗤_{< 2} = 2$ 也

凡 $𝑄$ 爲 $𝗤$ 上非空有上界子集、則定義為實數．全序集 $(𝑋, ⪯)$ ．若其非空子集之有上界者有上確界．曰序完備．