信号判决 - Uwni'Space

二值判决

在通信系统中，在接受端对模拟信号进行判决以恢复出数字信号是一个重要环节．最简单的信号判决方式是基于接收信号的强度进行判决．假设发送端发送两种强度的信号，space 表示二进制 0, mark 表示二进制 1，接收端根据接收到的信号强度与预设的判决阈值进行比较，从而决定接收到的是 0 还是 1．实际上，收到信道噪声的影响，接收信号的强度会围绕发送的强度值波动，因此有错判之虞．

假设 mark 信号的概率为 $𝑝 (1)$ , space 信号的概率为 $𝑝 (0)$ ．假设信号 mark 被错判为 space 的概率为 $𝑃 (0 | 1)$ , 信号 space 被错判为 mark 的概率为 $𝑃 (1 | 0)$ ．则总误码率 (Bit Error Rate) 为：

BER = 𝑝 (1) 𝑃 (0 | 1) + 𝑝 (0) 𝑃 (1 | 0)

(1)

𝑃 (0 | 1) = \frac{1}{\sqrt{2 𝜋} 𝜎_{1}} \int_{- \infty}^{𝐼_{𝐷}} \exp (- \frac{{(𝐼 - 𝐼_{1})}^{2}}{2 𝜎_{1}^{2}}) d 𝐼 = \frac{1}{2} erfc (\frac{𝐼_{1} - 𝐼_{𝐷}}{\sqrt{2} 𝜎_{1}})

(2)

𝑃 (1 | 0) = \frac{1}{\sqrt{2 𝜋} 𝜎_{0}} \int_{𝐼_{𝐷}}^{+ \infty} \exp (- \frac{{(𝐼 - 𝐼_{0})}^{2}}{2 𝜎_{0}^{2}}) d 𝐼 = \frac{1}{2} erfc (\frac{𝐼_{𝐷} - 𝐼_{0}}{\sqrt{2} 𝜎_{0}})

(3)

其中 $erfc$ 是互补误差函数 (complementary error function)：

erfc (𝑥) = \frac{2}{\sqrt{𝜋}} \int_{𝑥}^{+ \infty} \exp (- 𝑡^{2}) d 𝑡

(4)

BER = \frac{1}{2} (𝑝 (1) erfc (\frac{𝐼_{1} - 𝐼_{𝐷}}{\sqrt{2} 𝜎_{1}}) + 𝑝 (0) erfc (\frac{𝐼_{𝐷} - 𝐼_{0}}{\sqrt{2} 𝜎_{0}}))

(5)

我们发现，当信源均匀分布，即 $𝑝 (0) = 𝑝 (1) = \frac{1}{2}$ 时，

\begin{matrix} BER & = \frac{1}{2} (𝑃 (0 | 1) + 𝑃 (1 | 0)) \\ = \frac{1}{4} (erfc (\frac{𝐼_{1} - 𝐼_{𝐷}}{\sqrt{2} 𝜎_{1}}) + erfc (\frac{𝐼_{𝐷} - 𝐼_{0}}{\sqrt{2} 𝜎_{0}})) \end{matrix}

(6)

\partial_{𝐼_{𝐷}} BER = 0

(7)

解得

𝐼_{𝐷}^{*} = \frac{𝜎_{1} 𝐼_{0} + 𝜎_{0} 𝐼_{1}}{𝜎_{0} + 𝜎_{1}}

(8)

使用的一阶渐近展开近似

erfc (𝑥) ≃ \frac{\exp (- 𝑥^{2})}{𝑥 \sqrt{𝜋}} as 𝑥 \to \infty

(9)

BER (𝑄) = \frac{1}{2} erfc (\frac{𝑄}{\sqrt{2}}) \approx \frac{\exp (- \frac{𝑄^{2}}{2})}{𝑄 \sqrt{2 𝜋}}

(10)