信号判决

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在通信系统中，在接受端对模拟信号进行判决以恢复出数字信号是一个重要环节．最简单的信号判决方式是基于接收信号的强度进行判决．假设发送端发送两种强度的信号，space 表示二进制 0, mark 表示二进制 1，接收端根据接收到的信号强度与预设的判决阈值进行比较，从而决定接收到的是 0 还是 1．实际上，收到信道噪声的影响，接收信号的强度会围绕发送的强度值波动，因此有错判之虞．

圖示 1 关于直接强度判断的示意图，灰色的线展示了 Rx 所收到之叠加 gauß 噪声的不完美 OOK 时域信号．右端黄蓝线各代表了 mark/space 信号强度的概率密度．阴影面积表示错判概率．虚线表示理想信号强度

假设 mark 信号的概率为 $𝑝 (1)$ , space 信号的概率为 $𝑝 (0)$ ．假设信号 mark 被错判为 space 的概率为 $𝑃 (0 | 1)$ , 信号 space 被错判为 mark 的概率为 $𝑃 (1 | 0)$ ．则总误码率 (Bit Error Rate) 为：

BER = 𝑝 (1) 𝑃 (0 | 1) + 𝑝 (0) 𝑃 (1 | 0)

𝑃 (0 | 1) = \frac{1}{\sqrt{2 π} 𝜎_{1}} \int_{- \infty}^{𝐼_{D}} exp (- \frac{{(𝐼 - 𝐼_{1})}^{2}}{2 𝜎_{1}^{2}}) d 𝐼 = \frac{1}{2} erfc (\frac{𝐼_{1} - 𝐼_{D}}{\sqrt{2} 𝜎_{1}})

𝑃 (1 | 0) = \frac{1}{\sqrt{2 π} 𝜎_{0}} \int_{𝐼_{D}}^{+ \infty} exp (- \frac{{(𝐼 - 𝐼_{0})}^{2}}{2 𝜎_{0}^{2}}) d 𝐼 = \frac{1}{2} erfc (\frac{𝐼_{D} - 𝐼_{0}}{\sqrt{2} 𝜎_{0}})

其中 $erfc$ 是互补误差函数 (complementary error function)．

erfc (𝑥) ≔ 1 - erf (𝑥) = \frac{2}{\sqrt{π}} \int_{𝑥}^{+ \infty} exp (- 𝑡^{2}) d 𝑡

他是對正態分布從 $𝑥$ 到無窮大的變下限積分，表示的是隨機變量大於 $𝑥$ 時的概率．

BER = \frac{1}{2} (𝑝 (1) erfc (\frac{𝐼_{1} - 𝐼_{D}}{\sqrt{2} 𝜎_{1}}) + 𝑝 (0) erfc (\frac{𝐼_{D} - 𝐼_{0}}{\sqrt{2} 𝜎_{0}}))

為了寻找误码率最小时的 $𝐼_{D}$ ，我們對 $𝐼_{D}$ 求偏導並令其爲零：

\partial_{𝐼_{D}} BER = 0

Proposition 1.

\begin{matrix} {erf}^{'} (𝑥) = \frac{2}{\sqrt{π}} exp (- 𝑥^{2}) \\ {erfc}^{'} (𝑥) = - \frac{2}{\sqrt{π}} exp (- 𝑥^{2}) \end{matrix}

{BER}^{'} (𝐼_{D}) = \frac{𝑝 (1)}{2 \sqrt{2 π} 𝜎_{1}} exp (- \frac{{(𝐼_{1} - 𝐼_{D})}^{2}}{2 𝜎_{1}^{2}}) - \frac{𝑝 (0)}{2 \sqrt{2 π} 𝜎_{0}} exp (- \frac{{(𝐼_{D} - 𝐼_{0})}^{2}}{2 𝜎_{0}^{2}}) = 0

我们发现，当信源均匀分布，即 $𝑝 (0) = 𝑝 (1) = 1 / 2$ 时，

\begin{aligned} BER & = \frac{1}{2} (𝑃 (0 | 1) + 𝑃 (1 | 0)) \\ = \frac{1}{4} (erfc (\frac{𝐼_{1} - 𝐼_{D}}{\sqrt{2} 𝜎_{1}}) + erfc (\frac{𝐼_{D} - 𝐼_{0}}{\sqrt{2} 𝜎_{0}})) \end{aligned}

解得

𝐼_{D}^{*} = \frac{𝜎_{1} 𝐼_{0} + 𝜎_{0} 𝐼_{1}}{𝜎_{0} + 𝜎_{1}}

使用 $erfc$ 函數的一阶渐近展开近似

erfc (𝑥) ≃ \frac{exp (- 𝑥^{2})}{𝑥 \sqrt{π}} as 𝑥 \to \infty

BER (𝑄) = \frac{1}{2} erfc (\frac{𝑄}{\sqrt{2}}) \approx \frac{exp (- \frac{𝑄^{2}}{2})}{𝑄 \sqrt{2 π}}

圖示 2 品质因数下的误码率几何．纵轴

𝑄

是接收器的品质因数，横轴 BER 则代表误码率

相干检测

相干检测能管够利用信号光的相位信息，从而提升检测性能．相干检测通常使用本地振荡器 (local oscillator, LO) 产生一束与信号光频率相同且相位已知的光，与接收信号进行干涉，从而提取出信号的幅度和相位信息．

假设信号光和 LO 光的相量分别

\begin{matrix} {\tilde{𝐸}}_{S} = 𝐴_{S} exp (- 𝑖 (𝜔_{S} 𝑡 + 𝜑_{S})) \\ {\tilde{𝐸}}_{LO} = 𝐴_{LO} exp (- 𝑖 (𝜔_{LO} 𝑡 + 𝜑_{LO})) \end{matrix}

二者相干得

\tilde{𝐸} = {\tilde{𝐸}}_{S} + {\tilde{𝐸}}_{LO} = 𝐴_{S} exp (- 𝑖 (𝜔_{S} 𝑡 + 𝜑_{S})) + 𝐴_{LO} exp (- 𝑖 (𝜔_{LO} 𝑡 + 𝜑_{LO}))

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相干检测

同波相干检测

异波相干检测

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