線形映射

我們定義綫形映射爲綫形空間間的同態（即保持加法和純量乘法）．而綫形算子則是自同構．其他課本中或稱綫形算子爲綫形變換．或稱綫形映射爲綫形變換．爲了避免混淆、我們棄之不用．

設 $(𝑉, 𝕂)$ 與 $(𝑊, 𝕂)$ 爲 $𝕂$ 上的綫形空間．映射 $𝑇 : 𝑉 \to 𝑊$ 稱爲從 $𝑉$ 到 $𝑊$ 的綫形映射、或者說綫形空間 $𝑉$ 到 $𝑊$ 的同態、若對任意 $𝒖, 𝒗 \in 𝑉$ 與 $𝑎 \in 𝕂$ 、皆有

$𝑇 (𝒖 + 𝒗) = 𝑇 (𝒖) + 𝑇 (𝒗)$
$𝑇 (𝑎 𝒗) = 𝑎 𝑇 (𝒗)$

如果綫形映射更是對映、則稱爲綫形同構． $𝑉$ 、 $𝑊$ 上存在同構映射則稱二者同構．記作 $𝑉 ≅ 𝑊$ ．將所有從 $𝑉$ 到 $𝑊$ 的綫形映射的集合記作 $ℒ︀ (𝑉, 𝑊)$ ．

例 LA14.

$𝗥$ 域上 $𝗖$ 空間的實部映射與虛部映射 $Re, Im \in ℒ︀ (𝗖, 𝗥)$ 是同態．因爲凡 $𝑎, 𝑏 \in 𝗥$ 與 $𝑧, 𝑤 \in 𝗖$ 、皆有

$Re (𝑎 𝑧 + 𝑏 𝑤) = 𝑎 Re 𝑧 + 𝑏 Re 𝑤$
$Im (𝑎 𝑧 + 𝑏 𝑤) = 𝑎 Im 𝑧 + 𝑏 Im 𝑤$

但不是同構、非單射故也．

共軛映射 $𝑧 \mapsto 𝑧$ 是 $𝗥$ 域上的線形同構．但不是 $𝗖$ 域上的線形同構、因爲 $𝑎 𝑧 = 𝑎 𝑧 \neq 𝑎 𝑧$ ．

$𝑉$ 上的自同態稱爲 $𝑉$ 上的綫形算子．其集合記爲 $ℒ︀ (𝑉)$ ．

將 $ℒ︀ (𝑉, 𝕂)$ 中的綫形映射稱爲 $𝑉$ 上的綫形泛函．並且可以記該綫形空間爲 $𝑉^{*}$ 、稱爲 $𝑉$ 的對偶空間．

定義 LA10.

凡 $𝑇, 𝑆 \in ℒ︀ (𝑉, 𝑊)$ 、 $𝑎 \in 𝕂$ 、 $𝒗 \in 𝑉$ ．

加法: $(𝑇 + 𝑆) 𝒗 ≔ 𝑇 (𝒗) + 𝑆 (𝒗)$ ．
純量乘法: $(𝑎 \cdot 𝑇) 𝒗 ≔ 𝑎 \cdot (𝑇 (𝒗))$ ．

命題 LA22.

𝑉, 𝑊

是

𝕂

上的綫性空間．則

ℒ︀ (𝑉, 𝑊)

是

𝕂

上的綫性空間．

證 .

較然可見．

∎

命題 LA23.

线形扩张定理

$𝑉$ 和 $𝑊$ 是线形空间． $ℬ︀ = {𝒗_{𝑖} | 𝑖 \in 𝐼}$ 是 $𝑉$ 的基集．可唯一定义 $𝜏 \in ℒ︀ (𝑉, 𝑊)$ ．以凡 $𝒗_{𝑖} \in ℬ︀$ 、任取 $𝜏 𝒗_{𝑖}$ 的值并线性延拓至整个 $𝑉$ ：

𝜏 (𝑎_{1} 𝒗_{1} + \dots + 𝑎_{𝑛} 𝒗_{𝑛}) = 𝑎_{1} 𝜏 𝒗_{1} + \dots + 𝑎_{𝑛} 𝜏 𝒗_{𝑛} .

一句话说．凡 $𝑓 : ℬ︀ \to 𝑊$ 、 $\exists! 𝜏 \in ℒ︀ (𝑉, 𝑊)$ 而 ${𝜏 |}_{ℬ︀} = 𝑓$ ．

證 .

存在性． 由于 $ℬ︀$ 是 $𝑉$ 的基、 $𝑉$ 中每个向量都有本质唯一的有限线性组合表示：对任意 $𝒗 \in 𝑉$ 、存在唯一的有限子集 ${𝒗_{1}, \dots, 𝒗_{𝑛}} \subset ℬ︀$ 和唯一的标量 $𝑎_{1}, \dots, 𝑎_{𝑛} \in 𝕂$ （排除零系数）、使得

𝒗 = 𝑎_{1} 𝒗_{1} + \dots + 𝑎_{𝑛} 𝒗_{𝑛} .

因此可以无歧义地令

𝜏 (𝒗) ≔ 𝑎_{1} 𝜏 (𝒗_{1}) + \dots + 𝑎_{𝑛} 𝜏 (𝒗_{𝑛}) .

凡 $𝒗 \in 𝑉$ 皆有线性表示保证整个 $𝑉$ 上 $𝜏$ 皆有定义．表示的唯一性保证了 $𝜏 𝒗$ 无歧义．因此 $𝜏$ 是良定的．

线性． 设 $𝒗, 𝒘 \in 𝑉$ 、 $𝑐 \in 𝕂$ ．将它们分别展开为基的线性组合、

𝒗 = \sum_{𝑖} 𝑎_{𝑖} 𝒗_{𝑖}, 𝒘 = \sum_{𝑖} 𝑏_{𝑖} 𝒗_{𝑖},

则

\begin{aligned} 𝜏 (𝒗 + 𝑐 𝒘) & = 𝜏 (\sum_{𝑖} (𝑎_{𝑖} + 𝑐 𝑏_{𝑖}) 𝒗_{𝑖}) \\ = \sum_{𝑖} (𝑎_{𝑖} + 𝑐 𝑏_{𝑖}) 𝜏 (𝒗_{𝑖}) \\ = \sum_{𝑖} 𝑎_{𝑖} 𝜏 (𝒗_{𝑖}) + 𝑐 \sum_{𝑖} 𝑏_{𝑖} 𝜏 (𝒗_{𝑖}) = 𝜏 (𝒗) + 𝑐 𝜏 (𝒘) . \end{aligned}

故 $𝜏$ 是线形映射．

唯一性． 设 $𝜎 \in ℒ︀ (𝑉, 𝑊)$ 满足对所有 $𝒗_{𝑖} \in ℬ︀$ 有 $𝜎 (𝒗_{𝑖}) = 𝜏 (𝒗_{𝑖})$ ．对任意 $𝒗 = 𝑎_{1} 𝒗_{1} + \dots + 𝑎_{𝑛} 𝒗_{𝑛} \in 𝑉$ 、由线性得

\begin{aligned} 𝜎 (𝒗) & = 𝑎_{1} 𝜎 (𝒗_{1}) + \dots + 𝑎_{𝑛} 𝜎 (𝒗_{𝑛}) \\ = 𝑎_{1} 𝜏 (𝒗_{1}) + \dots + 𝑎_{𝑛} 𝜏 (𝒗_{𝑛}) = 𝜏 (𝒗) . \end{aligned}

故 $𝜎 = 𝜏$ ． $∎$

同構

命題 LA24.

线形同构的必要条件

$𝜏 \in ℒ︀ (𝑉, 𝑊)$ 是同构． $𝑆 \subseteq 𝑉$ 则

$span 𝑆 = 𝑉 \Leftrightarrow span (𝜏 [𝑆]) = 𝑊$ ．
$𝑆$ 在 $𝑉$ 中线形独立 $\Leftrightarrow$ $𝜏 [𝑆]$ 在 $𝑊$ 中线形独立．
$𝑆$ 是 $𝑉$ 的基 $\Leftrightarrow$ $𝜏 [𝑆]$ 是 $𝑊$ 的基．

證 .

设 $𝜏 : 𝑉 ⤖ 𝑊$ 是同构映射．以下每条均证两个方向．

1. $span 𝑆 = 𝑉 \Rightarrow span (𝜏 [𝑆]) = 𝑊$ ：任取 $𝒘 \in 𝑊$ ．由 $𝜏$ 满射、 $\exists 𝒗 \in 𝑉$ 使 $𝜏 (𝒗) = 𝒘$ ．由 $span 𝑆 = 𝑉$ 、 $𝒗 = \sum_{𝑖} 𝑎_{𝑖} 𝒔_{𝑖}$ （ $𝒔_{𝑖} \in 𝑆$ ）．于是

𝒘 = 𝜏 (𝒗) = \sum_{𝑖} 𝑎_{𝑖} 𝜏 (𝒔_{𝑖}) \in span (𝜏 [𝑆]) .

$span (𝜏 [𝑆]) = 𝑊 \Rightarrow span 𝑆 = 𝑉$ ：任取 $𝒗 \in 𝑉$ ．因 $𝜏 (𝒗) \in 𝑊 = span (𝜏 [𝑆])$ 、故

𝜏 (𝒗) = \sum_{𝑖} 𝑎_{𝑖} 𝜏 (𝒔_{𝑖}) = 𝜏 (\sum_{𝑖} 𝑎_{𝑖} 𝒔_{𝑖}) .

由 $𝜏$ 单射、 $𝒗 = \sum_{𝑖} 𝑎_{𝑖} 𝒔_{𝑖} \in span 𝑆$ ．

2. $𝑆$ 线形独立 $\Rightarrow$ $𝜏 [𝑆]$ 线形独立：设 $\sum_{𝑖} 𝑎_{𝑖} 𝜏 (𝒔_{𝑖}) = 𝟎_{𝑊}$ ．由线性、 $𝜏 (\sum_{𝑖} 𝑎_{𝑖} 𝒔_{𝑖}) = 𝟎_{𝑊} = 𝜏 (𝟎_{𝑉})$ ．由 $𝜏$ 单射、 $\sum_{𝑖} 𝑎_{𝑖} 𝒔_{𝑖} = 𝟎_{𝑉}$ ．由 $𝑆$ 线形独立、各 $𝑎_{𝑖} = 0$ ．

$𝜏 [𝑆]$ 线形独立 $\Rightarrow$ $𝑆$ 线形独立：设 $\sum_{𝑖} 𝑎_{𝑖} 𝒔_{𝑖} = 𝟎_{𝑉}$ ．由线性、 $\sum_{𝑖} 𝑎_{𝑖} 𝜏 (𝒔_{𝑖}) = 𝜏 (𝟎_{𝑉}) = 𝟎_{𝑊}$ ．由 $𝜏 [𝑆]$ 线形独立、各 $𝑎_{𝑖} = 0$ ．

3. 直接由 1、2 合并： $𝑆$ 张成 $𝑉$ 且线形独立 $\Leftrightarrow$ $𝜏 [𝑆]$ 张成 $𝑊$ 且线形独立． $∎$

命題 LA25.

线形同构的充要条件

𝜏 \in ℒ︀ (𝑉, 𝑊)

是同构．

\Leftrightarrow

存在

𝑉

的基

ℬ︀

、

𝜏 [ℬ︀]

是

𝑊

的基．

證 .

必要性． 由命題 LA24(3) 即得．

充分性． 设 $ℬ︀$ 是 $𝑉$ 的基、 $𝜏 [ℬ︀]$ 是 $𝑊$ 的基．满映：任意 $𝒘 \in 𝑊$ 、 $𝒘 = \sum 𝑎_{𝑖} 𝜏 (𝒗_{𝑖}) = 𝜏 (\sum 𝑎_{𝑖} 𝒗_{𝑖})$ 、其中 $𝒗_{𝑖} \in ℬ︀$ 、設 $𝒗 = \sum 𝑎_{𝑖} 𝒗_{𝑖} \in 𝑉$ 則 $𝜏 (𝒗) = 𝒘$ . 單映：設 $𝜏 (𝒗) = 𝟎_{𝑊}$ 、將 $𝒗$ 在基 $ℬ︀$ 下展開爲 $𝒗 = \sum 𝑎_{𝑖} 𝒗_{𝑖}$ （ $𝒗_{𝑖} \in ℬ︀$ ）、由線性得 $\sum 𝑎_{𝑖} 𝜏 (𝒗_{𝑖}) = 𝜏 (𝒗) = 𝟎_{𝑊}$ ．由於 $𝜏 [ℬ︀]$ 是基故線形獨立、各 $𝑎_{𝑖} = 0$ 、從而 $𝒗 = 𝟎_{𝑉}$ ． $∎$

命題 LA26.

綫形映射

𝑇 \in ℒ︀ (𝑉, 𝑊)

滿足

𝑇 (𝟎_{𝑉}) = 𝟎_{𝑊}

、其中

𝟎_{𝑉}

与

𝟎_{𝑊}

分別爲

𝑉

與

𝑊

的加法單位元．

證 .

由於 $𝟎_{𝑉} + 𝟎_{𝑉} = 𝟎_{𝑉}$ 、故

𝑇 (𝟎_{𝑉}) = 𝑇 (𝟎_{𝑉} + 𝟎_{𝑉}) = 𝑇 (𝟎_{𝑉}) + 𝑇 (𝟎_{𝑉})

因此、

𝑇 (𝟎_{𝑉})

是

𝑊

中

𝑇 (𝟎_{𝑉})

的加法單位元．由於加法單位元唯一、遂得

𝑇 (𝟎_{𝑉}) = 𝟎_{𝑊}

．

∎

這個命題表明、綫性映射將零向量映射到零向量．

命題 LA27.

𝑇 \in ℒ︀ (𝑉, 𝑊)

、則

ker 𝑇 ≔ {𝒙 \in 𝑉 | 𝑇 𝒙 = 𝟎_{𝑊}}

是

𝑉

的子空間．

證 .

我們來證明它是 $𝑉$ 的子空間．

顯然 $𝟎_{𝑉} \in ker 𝑇$ ．因為 $𝑇 (𝟎_{𝑉}) = 𝟎_{𝑊}$ ．
若 $𝒖, 𝒗 \in ker 𝑇$ 、則 $𝑇 𝒖 = 𝟎_{𝑊}$ 且 $𝑇 𝒗 = 𝟎_{𝑊}$ ．因此
$𝑇 (𝒖 + 𝒗) = 𝑇 𝒖 + 𝑇 𝒗 = 𝟎_{𝑊} + 𝟎_{𝑊} = 𝟎_{𝑊}$
故 $𝒖 + 𝒗 \in ker 𝑇$ ．
若 $𝒗 \in ker 𝑇$ 且 $𝑎 \in 𝕂$ 、則 $𝑇 (𝑎 𝒗) = 𝑎 𝑇 𝒗 = 𝑎 𝟎_{𝑊} = 𝟎_{𝑊}$ ．

$∎$

我們稱綫形空間 $ker 𝑇$ 為 $𝑇$ 的核空間或零空間．則命題 LA26 可重述爲 $𝟎_{𝑉} \in ker 𝑇$ ．

命題 LA28.

$𝑇 \in ℒ︀ (𝑉, 𝑊)$ 、則

𝑇 单射 \Leftrightarrow ker 𝑇 = {𝟎}

證 .

( $\Rightarrow$ ) 如果 $𝑇$ 是单射、則凡 $𝒗 \in ker 𝑇$ 、有 $𝑇 𝒗 = 𝟎_{𝑊}$ ．又以命題 LA26、 $𝑇 𝟎_{𝑉} = 𝟎_{𝑊}$ ．由於 $𝑇$ 是单射、遂得 $𝒗 = 𝟎_{𝑉}$ ．因此、 $ker 𝑇 = {𝟎}$ ．

( $\Leftarrow$ ) 如果 $ker 𝑇 = {𝟎}$ 、則凡 $𝒖, 𝒗 \in 𝑉$ 、若 $𝑇 𝒖 = 𝑇 𝒗$ 、則 $𝑇 (𝒖 - 𝒗) = 𝟎$ ．于是 $𝒖 - 𝒗 = 𝟎$ 、即 $𝒖 = 𝒗$ ． $∎$

必要性其实很显然、由单射的定义一眼望穿．但充分性則展示了我们能從核空間的单射性质反推整个映射的单射性．

命題 LA29.

𝑇 \in ℒ︀ (𝑉, 𝑊)

、則其像域

im 𝑇

是

𝑊

的子空間．其名爲

𝑇

的像空間．

證 .

唯需证明 $𝟎 \in im 𝑇$ 且封闭于加法與純量乘法．

由於 $𝑇 (𝟎_{𝑉}) = 𝟎_{𝑊}$ 、故 $𝟎_{𝑊} \in im 𝑇$ ．
若 $𝒘_{1}, 𝒘_{2} \in im 𝑇$ 、則存在 $𝒗_{1}, 𝒗_{2} \in 𝑉$ 、使得 $𝑇 𝒗_{1} = 𝒘_{1}$ 且 $𝑇 𝒗_{2} = 𝒘_{2}$ ．因此

𝑎 𝒘_{1} + 𝑏 𝒘_{2} = 𝑎 𝑇 𝒗_{1} + 𝑏 𝑇 𝒗_{2} = 𝑇 (𝑎 𝒗_{1} + 𝑏 𝒗_{2})

$∎$

註 .

GL (𝑉) ≔ {𝑇 \in ℒ︀ (𝑉) | 𝑇 可逆}

是

𝑉

上的可逆子空間自同構羣．稱爲一般綫形羣．

不變子空間

設 $𝑉$ 爲綫形空間、 $𝑇 \in ℒ︀ (𝑉)$ ．子空間 $𝑈 \subseteq 𝑉$ 稱爲 $𝑇$ -不變、若 $𝑇 [𝑈] \subseteq 𝑈$ ．換言之、 ${𝑇 |}_{𝑈}$ 是 $𝑈$ 上的自同態．

例 LA15.

以下幾個是不變子空間

${𝟎}$ – 因爲 $𝑇 (𝟎) = 𝟎$ ．
$𝑉$ – 因爲 $𝑉$ 是自身的子空間．
$ker 𝑇$ – 因爲對任意 $𝒖 \in ker 𝑇$ 、 $𝑇 𝒖 = 𝟎 \in ker 𝑇$ ．
$im 𝑇$ – 因爲對任意 $𝒗 \in im 𝑇 \subseteq 𝑉$ 、 $𝑇 𝒗 \in im 𝑇$ ．

現在考慮一維不變子空間、設 $𝑈$ 是 $𝒗 \in 𝑉$ 張成的一維子空間．即

𝑈 = {𝜆 𝒗 | 𝜆 \in 𝕂} = span {𝒗}

如果 $𝑈$ 是 $𝑇$ -不變的、則對任意 $𝒖 \in 𝑈$ 、 $𝑇 𝒖 \in 𝑈$ 即 $\exists 𝜆 \in 𝕂$ 使得

𝑇 𝒖 = 𝜆 𝒖

命題 LA30.

𝑊, 𝑉

都是

𝕂

上的綫性空間．則

𝑊 ≅ 𝑉 \Leftrightarrow dim 𝑉 = dim 𝑊

證 .

( $\Rightarrow$ ) 設 $𝑓 : 𝑊 ⤖ 𝑉$ ． $𝐵 = {𝒗_{1}, \dots, 𝒗_{𝑛}}$ 是 $𝑉$ 的基．將欲證明 $𝑓 [𝐵] = {𝑓 (𝒗_{1}), \dots, 𝑓 (𝒗_{𝑛})}$ 是 $𝑊$ 的基． $𝐵$ 綫形無關、故 $\forall 𝒗_{𝑖} \in 𝐵$ 不二． $𝑓 (𝒗_{𝑖})$ 亦然、 $𝑓$ 單射故也．故 $𝑛 = | 𝐵 | = | 𝑓 [𝐵] |$ ．

現在證明 $𝑓 [𝐵]$ 綫形獨立．設 $𝑎_{1}, \dots, 𝑎_{𝑛} \in 𝕂$ 而

𝑎_{1} 𝑓 (𝒗_{1}) + \dots + 𝑎_{𝑛} 𝑓 (𝒗_{𝑛}) = 𝟎_{𝑊}

則左邊

𝑓 (𝑎_{1} 𝒗_{1} + \dots + 𝑎_{𝑛} 𝒗_{𝑛}) = 𝟎_{𝑊}

以命題 LA26、又 $𝑓$ 單映、若且僅若 $𝑎_{1} 𝒗_{1} + \dots + 𝑎_{𝑛} 𝒗_{𝑛} = 𝟎_{𝑉}$ 時上式成真．因 $𝐵$ 綫形獨立故 $𝑎_{1} = \dots = 𝑎_{𝑛} = 0$ ．故 $𝑓 [𝐵]$ 綫形獨立．

現在證明 $𝑓 [𝐵]$ 張成 $𝑊$ ．設 $𝒘 \in 𝑊$ ．因爲 $𝑓$ 是滿映、故 $\exists 𝒗 \in 𝑉$ 使 $𝑓 (𝒗) = 𝒘$ ．又因 $𝐵$ 張成 $𝑉$ 、故 $\exists 𝑎_{1}, \dots, 𝑎_{𝑛} \in 𝕂$ 使得 $𝒗 = 𝑎_{1} 𝒗_{1} + \dots + 𝑎_{𝑛} 𝒗_{𝑛}$ 而

𝒘 = 𝑓 (𝒗) = 𝑓 (𝑎_{1} 𝒗_{1} + \dots + 𝑎_{𝑛} 𝒗_{𝑛}) = 𝑎_{1} 𝑓 (𝒗_{1}) + \dots + 𝑎_{𝑛} 𝑓 (𝒗_{𝑛})

故 $𝑓 [𝐵]$ 張成 $𝑊$ ．故 $dim 𝑉 = | 𝐵 | = | 𝑓 [𝐵] | = dim 𝑊$ ．

( $\Leftarrow$ ) 設 $dim 𝑉 = dim 𝑊 = 𝑛$ ．設 $𝐵_{𝑉} = {𝒗_{1}, \dots, 𝒗_{𝑛}} \subseteq 𝑉$ 與 $𝐵_{𝑊} = {𝒘_{1}, \dots, 𝒘_{𝑛}} \subseteq 𝑊$ 分別爲 $𝑉$ 與 $𝑊$ 的基．定義映射 $𝑓 : 𝑉 \to 𝑊$ 如下：對於 $𝒗 = 𝑎_{1} 𝒗_{1} + \dots + 𝑎_{𝑛} 𝒗_{𝑛}$

𝑓 (𝒗) ≔ 𝑎_{1} 𝒘_{1} + \dots + 𝑎_{𝑛} 𝒘_{𝑛}

於是 $𝑓$ 爲綫形映射、且顯然爲雙射．因爲可以相同的思路構造出 $𝑊 \to 𝑉$ 的綫形映射爲 $𝑓$ 的逆． $∎$

該定理十分重要．

同構

不變子空間

論見