線形空間

我们以前学习綫形代数时、都是以具体的方式进行的、比如解綫形方程、矩阵运算等．在本章中、我们将学习綫形空間的抽象概念、它是向量和矩阵的推广．首先、你可能会问、为什么我们需要学习如此抽象的概念？请看下面的例子．

我们至少在高中时就学习过向量、如位移、速度、力等．实际上、当我们说向量时、我们的第一印象是它们必须有两个或三个分量、代表平面或空間中的一个点．但是在学习了綫形代数之后、我们了解到像 $(1, 2, 3, 4, 5)$ 这样的东西亦向量、尽管我们无法想象它在现实世界中的物理圖像．

所以、基本上、将向量的概念改变为任意数量的分量、是对原始概念的推广或抽象．这样我们可以用新定义处理更多内容、但代价是失去一些物理意义．在本讲中、我们将重复这个过程、进一步抽象向量的概念、以便我们能够找出其中一些共同的、通用的或一般的属性．

让我们回顾一下从 $𝗥^{3}$ 到 $𝗥^{𝑛}$ 的抽象过程、在这里、我将给出一个更严格的定义、作为让你熟悉代数结構的第一步．

回想一下、如果给定一个像 $(𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑)$ 这样的结構、这是一个向量吗？不、绝对不是．实际上、它只是一个元组、即元素的有序有限序列或列表．顺便说一下、你也可以用有序对来構造它．虽然我们通常默认将其视为向量、那是因为我们可以以非常自然的方式在其上定义加法和标量乘法．但是仅使用元组的结構、我们无法对其进行任何操作、除非你事先定义一些．例如、如果你尝试运行

python

(1, 2, 3) + (1, 2, 3)

(1, 2, 3) + (1, 2, 3)

在 Python 中、它将返回 (1, 2, 3, 1, 2, 3)、而如果你尝试在纸上写 $(1, 2, 3) + (4, 5, 6)$ 、读者会默认认为它是 $(1 + 4, 2 + 5, 3 + 6)$ ．这是因为对于编程语言来说、+ 运算符被重载为连接两个元组．但对于数学、特别是在座標空間中、+ 运算符被定义为逐个元素相加．所以你会明白、在使用之前声明或至少知道符号的确切含义是很重要的、否则你会感到困惑．所以、元组不是向量、但我们可以在其上定义向量结構、然后它就成为向量了．

向量的应用

然后、让我们回到向量的话题．例如、我们知道力可以分解为两个正交分量、我们用这个来分析力学问题．为什么我们可以这样做？因为力是一个向量．但类似地、正弦信号

𝐴 cos (𝜔 𝑡 + 𝜑) = 𝐴 cos 𝜑 cos 𝜔 𝑡 - 𝐴 sin 𝜑 sin 𝜔 𝑡

可以分解为两个分量 $sin 𝜔 𝑡$ 和 $cos 𝜔 𝑡$ 、我们通常使用星座图来表示这种分解．你有没有注意到这两种情况之間的相似性？因此、我们今天的目标是提出一个结構来处理所有类似的情况．

从上面这两个例子来看、看起来像列表既不是成为向量的充分条件（因为列表上的加法不一定是向量加法）、也不是必要条件（因为雖某些东西看起来不像列表、比如函數或多项式、它仍然可以表现得完全像向量）．那么、最终、什么是向量？我们应该如何定义向量？

圖像 4 （Hermann Günther Graßmann、1809-1877）綫形代数的父亲之一．他在1844年发表了《綫形代数的扩展理论》（Die Ausdehnungslehre）、形式化了綫形代数的基本概念

在这里、我们将首先介绍域的概念、它是我们用来定义綫形空間的基本代数结構．

域简介

在我们开始讨论向量本身之前、让我们从一个更基本的概念开始．我们的故事将从集合开始、它是数学的基本構建块．假设有一个集合 $𝑆$ ．它太平凡（无聊）了、就像我们上面提到的元组一样．仅使用一个集合、我们几乎什么都做不了．

所以、我们想在集合 $𝑆$ 上定义一个二元运算、它是一个将集合的两个元素映射到集合本身的函數．

定義 LA1.

二元运算

集合 $𝑆$ 上的二元运算 $𝐴$ 是一个函數

𝐴 : 𝑆 \times 𝑆 \to 𝑆

以下是一些二元运算的例子：

例 LA2.

一些二元运算的例子

在 $𝗥$ 上定义的 $+, -, \times$ 、（ $/$ 是二元运算吗？）
在集合上定义的 $\cup, \cap$ 亦二元运算．（ $\subseteq, \subset$ 是二元运算吗？）
在 ${⊤, ⊥}$ 上定义的 $\land, \lor, \oplus$ 、（ $\neg$ 是二元运算吗？）

然后我们可以定义 ¹ 域是一个具有两个二元运算（加法和乘法）的集合 $𝑆$ 、它满足某些性质．

註 .

“加法”和“乘法”这些名称只是名称、它们不一定意味着与数的加法和乘法相同．重要的是这些运算满足某些性质．

定義 LA2.

域

域是一个具有两个二元算子 $+$ 和 $\cdot$ 的集合 $𝑆$ 、使得凡 $𝑎, 𝑏, 𝑐 \in 𝑆$

加法的结合律: $(𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐)$
加法的交换律: $𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎$
加法单位元²: $\exists 0 (𝑎 + 0 = 𝑎)$
加法逆元: $\forall 𝑎 \exists 𝑏 (𝑎 + 𝑏 = 0)$
乘法的结合律: $(𝑎 \cdot 𝑏) \cdot 𝑐 = 𝑎 \cdot (𝑏 \cdot 𝑐)$
乘法的交换律: $𝑎 \cdot 𝑏 = 𝑏 \cdot 𝑎$
乘法单位元: $𝑎 \cdot 1 = 𝑎$
乘法逆元: $𝑎 \neq 0 \Rightarrow \exists 𝑏 (𝑎 \cdot 𝑏 = 1)$
乘法对加法的分配律: $𝑎 \cdot (𝑏 + 𝑐) = 𝑎 \cdot 𝑏 + 𝑎 \cdot 𝑐$

證 .

0 + 𝑎 = 𝑎

显然．根据公理 2．

∎

实际上、我们称满足上述前4个性质的结構 $(𝑆, +)$ 为交換羣、或Abel 群．所以、如果我们定义阿贝尔群、那么可以给出一个更简单的定义、

定義 LA3.

一个具有两个 Abel 群的集合、

(𝑆, +)

用于加法、

(𝑆 ∖ {0}, \cdot)

用于乘法、并且乘法对加法具有分配性．那么我们称之为域、记为

(𝑆, + \cdot)

．

域最常见的例子是分数、你可以很容易地验证分数满足域的所有性质．实数、复数亦然．

例 LA3.

域的例子

$𝗤$ （分数）
$𝗥$ （实数）
$𝗖$ （复数）

同时、整数不是域、因为它们对于所有非零元素都没有乘法逆元（例如 $1 / 2 \notin 𝗭$ ）、自然数甚至不是群 [任务：搜索群的定义、并说明原因．]．

向量空間

现在我们准备好定义什么是向量空間了．

定義 LA4.

向量空間

在 $𝕂$ 上的向量空間 $𝑉$ 、由一个集合 $𝑉$ （其元素称为向量）和一个域 $𝕂$ （其元素称为标量）、以及以下两个二元映射组成：

向量加法: $+ : 𝑉 \times 𝑉 \to 𝑉$
标量乘法: $\cdot : 𝕂 \times 𝑉 \to 𝑉$

这些运算必须满足以下公理．对于向量 $𝒖, 𝒗, 𝒘 \in 𝑉$ 和标量 $𝑎, 𝑏 \in 𝕂$ 、对于向量加法 $+$

结合: $(𝒖 + 𝒗) + 𝒘 = 𝒖 + (𝒗 + 𝒘)$
对易: $𝒖 + 𝒗 = 𝒗 + 𝒖$
有单位元: 存在 $𝟎 \in 𝑉$ 使得对所有 $𝒗 \in 𝑉$ 有 $𝒗 + 𝟎 = 𝒗$
有逆元: 凡 $𝒗 \in 𝑉$ 、存在 $𝒘 \in 𝑉$ 使得 $𝒗 + 𝒘 = 𝟎$

换句话说、如果我们重用定义、 $(𝑉, +_{𝑉}, 𝟎)$ 是一个阿贝尔群．而对于标量乘法：

结合: $𝑎 (𝑏 𝒗) = (𝑎 𝑏) 𝒗$
有单位元³: $1 𝒗 = 𝒗$
对向量加法分配: $𝑎 (𝒖 + 𝒗) = 𝑎 𝒖 + 𝑎 𝒗$
对标量加法分配: $(𝑎 + 𝑏) 𝒗 = 𝑎 𝒗 + 𝑏 𝒗$

不引起混淆則 $\cdot$ 可省略、如 $𝑎 𝒗 ≔ 𝑎 \cdot 𝒗$ ．

註 .

这八个公理完全表征了我们所说的向量空間的含义．如果一个集合

𝑉

及其运算在某个域

𝕂

上满足这些公理、那么我们称它为

𝕂

上的向量空間．

现在、我们终于可以回答这个问题了、什么是向量？答案很简单但很抽象：向量是向量空間的一个元素．而向量空間是由上述八个公理定义的．

现在让我们看一些具体的例子、看看这个抽象定义如何应用于熟悉和不太熟悉的情况．

例 LA4.

座标空間

𝗥^{𝑛}

最熟悉的例子是

𝗥^{𝑛} = {(𝑥_{1}, 𝑥_{2}, \dots, 𝑥_{𝑛}) | 𝑥_{𝑖} \in 𝗥}

在域 $𝗥$ 上．这里：

向量加法： $(𝑥_{1}, \dots, 𝑥_{𝑛}) + (𝑦_{1}, \dots, 𝑦_{𝑛}) = (𝑥_{1} + 𝑦_{1}, \dots, 𝑥_{𝑛} + 𝑦_{𝑛})$
标量乘法： $𝑎 \cdot (𝑥_{1}, \dots, 𝑥_{𝑛}) = (𝑎 𝑥_{1}, \dots, 𝑎 𝑥_{𝑛})$
加法单位元： $(0, 0, \dots, 0)$
加法逆元： $(- 𝑥_{1}, \dots, - 𝑥_{𝑛})$

你可以验证所有八个公理都得到满足．

例 LA5.

多项式

令 ${𝒫︀}_{𝑛} (𝗥)$ 为所有次数至多为 $𝑛$ 的实系数多项式的集合：

{𝒫︀}_{𝑛} (𝗥) = {𝑎_{0} + 𝑎_{1} 𝑥 + 𝑎_{2} 𝑥^{2} + \dots + 𝑎_{𝑛} 𝑥^{𝑛} | 𝑎_{𝑖} \in 𝗥}

这里：

向量加法： $(𝑎_{0} + 𝑎_{1} 𝑥 + \dots) + (𝑏_{0} + 𝑏_{1} 𝑥 + \dots) = (𝑎_{0} + 𝑏_{0}) + (𝑎_{1} + 𝑏_{1}) 𝑥 + \dots$
标量乘法： $𝑐 \cdot (𝑎_{0} + 𝑎_{1} 𝑥 + \dots) = (𝑐 𝑎_{0}) + (𝑐 𝑎_{1}) 𝑥 + \dots$
加法单位元： $0 = 0 + 0 𝑥 + 0 𝑥^{2} + \dots$
加法逆元： $- (𝑎_{0} + 𝑎_{1} 𝑥 + \dots) = (- 𝑎_{0}) + (- 𝑎_{1}) 𝑥 + \dots$

注意多项式在几何意义上看起来不像“向量”、但仍然满足所有向量空間公理！

例 LA6.

函數

令 $𝕂^{𝑆}$ 为从非空集合 $𝑆$ 到 $𝕂$ 的所有函數的集合．我们定义 $\forall 𝑓, 𝑔 \in 𝕂^{𝑆}$

加法： $(𝑓 + 𝑔) (𝑥) = 𝑓 (𝑥) + 𝑔 (𝑥)$
标量乘法： $(𝑐 \cdot 𝑓) (𝑥) = 𝑐 \cdot 𝑓 (𝑥)$
加法单位元：常函數 $0 (𝑥) = 0$ 对所有 $𝑥 \in 𝑆$
加法逆元： $(- 𝑓) (𝑥) = - 𝑓 (𝑥)$

则 $𝕂^{𝑆}$ 是 $𝕂$ 上的向量空間．

这也構成了 $𝕂$ 上的向量空間．函數可以被认为是非常抽象意义上的“向量”、其中“分量”是域中每个点处的函數值．我们可以将这个函數向量空間限制为函數的子集、同时仍然满足向量空間公理．

例 LA7.

連續函數

令 $𝐶 (𝐼)$ 为定义在區間 $𝐼 \to 𝕂$ 上的所有連續函數的集合．结構的定义基本上与例 LA6 中相同、但具有函數在區間 $𝐼$ 上連續的附加性质．

𝐶 (𝐼) = {𝑓 \in 𝕂^{𝐼} | (\forall 𝑥_{0} \in 𝐼) lim_{𝑥 \to 𝑥_{0}} 𝑓 (𝑥) = 𝑓 (𝑥_{0})}

根据連續函數的性质、我们知道两个連續函數的和亦連續的、連續函數的标量乘法亦連續的．所以这个集合也構成了 $𝕂$ 上的向量空間．

此外、令 $𝐶^{1} (𝐼)$ 为所有連續可微函數⁴ $𝐼 \to 𝕂$ 的集合．结構的定义类似、但具有函數具有連續一階導數的附加性质．类似地、我们可以将 $𝐶^{𝑛} (𝐼)$ 定义为具有連續导数直到 $𝑛$ 阶的所有函數的集合．

它们都是 $𝕂$ 上的向量空間．证明留给读者作为练习．

这是我们开始时的例子！

例 LA8.

綫形微分方程的解

微分方程

{𝑦 \in 𝕂^{𝐼} | 𝑦^{(𝑛)} + 𝑎_{𝑛 - 1} 𝑦^{(𝑛 - 1)} + \dots + 𝑎_{1} 𝑦^{'} + 𝑎_{0} 𝑦 = 0}

的所有解的集合是

𝕂

上的向量空間．其中

𝑎_{𝑖} \in 𝕂

是已知系数．加法和标量乘法的定义与例 LA6 中相同．

这个向量空間的一些有用性质可以直接从定义（公理）中推导出来．这些性质在使用之前应该被证明．它们显然是真的、但证明起来相当棘手．

命題 LA4.

唯一的加法单位元

向量空間有唯一的加法单位元．

證 .

假设向量空間 $𝑉$ 中有两个加法单位元 $𝟎_{1}$ 和 $𝟎_{2}$ ．那么：

$𝟎_{1} + 𝟎_{2} = 𝟎_{1}$ （根据加法单位元的定义）
但同时、 $𝟎_{2} + 𝟎_{1} = 𝟎_{2}$ （根据相同的定义）

因此、 $𝟎_{1} = 𝟎_{2}$ （根据加法的交换律）． $∎$

命題 LA5.

唯一的加法逆元

向量空間中的每个元素都有唯一的加法逆元．

證 .

假设 $𝑉$ 是一个向量空間．令 $𝒗 \in 𝑉$ ．假设 $𝒘$ 和 $𝒘^{'}$ 是 $𝒗$ 的加法逆元．那么

𝒘 = 𝒘 + 𝟎 = 𝒘 + (𝒗 + 𝒘^{'}) = (𝒘 + 𝒗) + 𝒘^{'} = 𝟎 + 𝒘^{'} = 𝒘^{'}

∎

根据加法单位元的唯一性、符号 $- 𝒗$ 被良好定义为 $𝒗$ 的唯一加法逆元．我们可以将减法运算定义为 $𝒗 - 𝒘 = 𝒗 + (- 𝒘)$ ．

命題 LA6.

凡

𝒗 \in 𝑉

、

0 𝒗 = 𝟎

證 .

令 $𝒗 \in 𝑉$ ．根据标量乘法的定义、我们有： $0 𝒗 = (0 + 0) 𝒗 = 0 𝒗 + 0 𝒗$ 假设 $- 0 𝒗$ 是 $0 𝒗$ 的加法逆元、使得 $0 𝒗 + (- 0 𝒗) = 𝟎$ ．那么我们有：

𝟎 = 0 𝒗 + (- 0 𝒗) = 0 𝒗 + 0 𝒗 + (- 0 𝒗) = 0 𝒗

∎

命題 LA7.

凡

𝑎 \in 𝕂

、

𝑎 𝟎 = 𝟎

．

證 .

令 $𝑎 \in 𝕂$ 和 $𝟎 \in 𝑉$ 为加法单位元．那么： $𝑎 𝟎 = 𝑎 (𝟎 + 𝟎) = 𝑎 𝟎 + 𝑎 𝟎$ 根据加法单位元的定义、我们有： $𝑎 𝟎 + (- 𝑎 𝟎) = 𝟎$ 因此、

𝟎 = 𝑎 𝟎 + (- 𝑎 𝟎) = 𝑎 𝟎 + 𝑎 𝟎 + (- 𝑎 𝟎) = 𝑎 𝟎

∎

命題 LA8.

凡

𝒗 \in 𝑉

、

(- 1) 𝒗 = - 𝒗

．

證 .

𝒗 + (- 1) 𝒗 = 1 𝒗 + (- 1) 𝒗 = (1 + (- 1)) 𝒗 = 0 𝒗 = 𝟎

这个等式说明

(- 1) 𝒗

与

𝒗

相加得到

𝟎

．因此

(- 1) 𝒗

是

𝒗

的加法逆元、如所愿．

∎

子空間

现在我们理解了向量空間、让我们谈谈子空間．子空間本质上是“向量空間中的向量空間”．

定義 LA5.

子空間

设

𝑉

是

𝕂

上的向量空間．

𝑈 \subseteq 𝑉

與乘法的限制

{\cdot |}_{𝑈 \times 𝑈}

和加法的限制

{+ |}_{𝕂 \times 𝑈}

亦為

𝕂

上的向量空間．則

𝑈

谓之

𝑉

的子空間、

命題 LA9.

集合 $𝑈 \subseteq 𝑉$ 是 $(𝑉, 𝕂)$ 的子空間、当且仅当：

$𝟎 \in 𝑈$
$𝑈$ 对向量加法封闭： $\forall 𝒖, 𝒗 \in 𝑈, 𝒖 + 𝒗 \in 𝑈$
$𝑈$ 对标量乘法封闭： $\forall 𝒗 \in 𝑈, \forall 𝑎 \in 𝕂, 𝑎 𝒗 \in 𝑈$

證 .

( $\to$ ) 依定义較然．

( $\leftarrow$ ) 假设 $𝑈$ 满足上述三条件．(1) 确保 $𝑈$ 非空且有加法单位元 $𝟎$ ．(2) 确保 $+ [𝑈 \times 𝑈] = 𝑈$ ．（3）确保 $\cdot [𝕂 \times 𝑈] = 𝑈$ ．如果 $𝒖 \in 𝑈$ 、那么 $- 𝒖$ （根据命題 LA8 等于 $(- 1) 𝒖$ ）也在 $𝑈$ 中．因此 $𝑈$ 的每个元素都在 $𝑈$ 中有加法逆元．向量空間定义的其他部分、如结合律和交换律、对于 $𝑈$ 自动满足、因为它们在更大的空間 $𝑉$ 上成立．因此 $𝑈$ 是一个向量空間、因此是 $𝑉$ 的子空間． $∎$

註 .

如果满足这三个条件、那么

𝑊

自动从

𝑉

继承所有向量空間公理、所以

(𝑊, 𝐹)

本身就是一个向量空間．同时、如果

𝑊

是

𝑉

的子集但不满足这些条件、它就不是子空間．

例 LA9.

通过原点的直綫

在 $𝗥^{2}$ 中、任何通过原点的直綫都構成一个子空間．例如：

𝑈 = {(𝑥, 𝑦) \in 𝗥^{2} | 𝑦 = 2 𝑥} = {(𝑡, 2 𝑡) | 𝑡 \in 𝗥}

你可以验证：

$(0, 0) \in 𝑈$
如果 $(𝑡_{1}, 2 𝑡_{1}), (𝑡_{2}, 2 𝑡_{2}) \in 𝑈$ 、那么 $(𝑡_{1}, 2 𝑡_{1}) + (𝑡_{2}, 2 𝑡_{2}) = (𝑡_{1} + 𝑡_{2}, 2 (𝑡_{1} + 𝑡_{2})) \in 𝑈$
如果 $(𝑡, 2 𝑡) \in 𝑈$ 且 $𝑎 \in 𝗥$ 、那么 $𝑎 \cdot (𝑡, 2 𝑡) = (𝑎 𝑡, 2 𝑎 𝑡) \in 𝑈$

类似地、 $𝗥^{3}$ 中任何通过原点的平面或直綫都是子空間．

註 .

但请注意、仅當直綫通過原點時、方構成子空間．直綫不通过原点、則稱之爲仿射空間．

例 LA10.

偶/奇函數

在向量空間 $𝕂^{𝑆}$ 中、偶/奇函數的集合構成一个子空間．

它包含 $0 (𝑥) = 0$ 函數．
如果 $𝑓 (𝑥)$ 和 $𝑔 (𝑥)$ 是偶/奇的、那么 $(𝑓 + 𝑔) (𝑥) = 𝑓 (𝑥) + 𝑔 (𝑥)$ 亦爲偶/奇．
如果 $𝑓 (𝑥)$ 是偶/奇的且 $𝑐 \in 𝗥$ 、那么 $(𝑐 𝑓) (𝑥) = 𝑐 𝑓 (𝑥)$ 亦爲偶/奇．

例 LA11.

連續函數

區間 $𝐼$ 上所有連續函數的集合 $𝐶 (𝐼)$ 構成所有函數的向量空間 $𝕂^{𝐼}$ 的子空間．

常值函數 $0 (𝑥) = 0$ 在 $𝐶 (𝐼)$ 中
如果 $𝑓, 𝑔 \in 𝐶 (𝐼)$ 、那么 $(𝑓 + 𝑔) (𝑥) = 𝑓 (𝑥) + 𝑔 (𝑥)$ 亦連續的、所以 $𝑓 + 𝑔 \in 𝐶 (𝐼)$
如果 $𝑓 \in 𝐶 (𝐼)$ 且 $𝑐 \in 𝗥$ 、那么 $(𝑐 𝑓) (𝑥) = 𝑐 𝑓 (𝑥)$ 亦連續的、所以 $𝑐 𝑓 \in 𝐶 (𝐼)$

例 LA12.

齊次綫形微分方程的解

例 LA8 中綫形齊次微分方程的所有解的集合構成函數向量空間的子空間．

零函數是一个解（平凡解）．
如果 $𝑦_{1}$ 和 $𝑦_{2}$ 是解、那么 $(𝑦_{1} + 𝑦_{2}) (𝑥) = 𝑦_{1} (𝑥) + 𝑦_{2} (𝑥)$ 亦解．
如果 $𝑦$ 是解且 $𝑐 \in 𝗥$ 、那么 $(𝑐 𝑦) (𝑥) = 𝑐 𝑦 (𝑥)$ 亦解．

子空間之和

现在让我们谈谈两个子空間的和．给定向量空間 $𝑉$ 的两个子空間 $𝑈$ 和 $𝑊$ 、它们的和、记为 $𝑈 + 𝑊$ 、定义为：

定義 LA6.

子空間的和

向量空間 $𝑉$ 的两个子空間 $𝑈$ 和 $𝑊$ 的和是集合：

𝑈 + 𝑊 = {𝒖 + 𝒘 | 𝒖 \in 𝑈, 𝒘 \in 𝑊}

註 .

應注意

𝑈 \cup 𝑊

与

𝑈 + 𝑊

不同．和

𝑈 + 𝑊

本身是一个向量空間、它包含

𝑈

和

𝑊

中向量的所有可能和、而

𝑈 \cup 𝑊

只是组合两个子空間的元素、所以它甚至不一定是向量空間．

例 LA13.

設 $𝑈$ 是 $𝗥^{2}$ 中所有形如 $(𝑥, 0)$ 的向量的子空間、而 $𝑊$ 是所有形如 $(0, 𝑦)$ 的向量的子空間．那么：

𝑈 + 𝑊 = {(𝑥, 𝑦) | 𝑥 \in 𝗥, 𝑦 \in 𝗥} = 𝗥^{2}

構成

𝗥^{2}

平面、而

𝑈 \cup 𝑊 = {(𝑥, 0) | 𝑥 \in 𝗥} \cup {(0, 𝑦) | 𝑦 \in 𝗥}

只是

𝑥

軸和

𝑦

軸的并集、这不是向量空間．

命題 LA10.

子空间之和是含它们的最小子空间

𝑉

的子空间

𝑉_{1}, \dots, 𝑉_{𝑚}

的和

𝑉_{1} + \dots + 𝑉_{𝑚}

是包含

𝑉_{1}, \dots, 𝑉_{𝑚}

中每一个的

𝑉

的最小子空间．

證 .

读者可以验证 $𝑉_{1} + \dots + 𝑉_{𝑚}$ 包含加法单位元 $𝟎$ 并且对加法和标量乘法封闭．因此它是 $𝑉$ 的子空間．

子空間 $𝑉_{1}, \dots, 𝑉_{𝑚}$ 都包含在 $𝑉_{1} + \dots + 𝑉_{𝑚}$ 中（要看到这一点、考虑和 $𝒗_{1} + \dots + 𝒗_{𝑚}$ 、其中除了一个 $𝒗_{𝑘}$ 之外的所有都是 $𝟎$ ）．相反、包含 $𝑉_{1}, \dots, 𝑉_{𝑚}$ 的 $𝑉$ 的每个子空間都包含 $𝑉_{1} + \dots + 𝑉_{𝑚}$ （因为子空間必须包含其元素的所有有限和）．因此 $𝑉_{1} + \dots + 𝑉_{𝑚}$ 是包含 $𝑉_{1}, \dots, 𝑉_{𝑚}$ 的 $𝑉$ 的最小子空間． $∎$

如果进一步我们想描述、各个子空間不仅相加为和空間、且各个子空間互不相交．我们称这样的和为直和．

直和

定義 LA7.

外直和

设 $𝑉_{1}, \dots, 𝑉_{𝑛}$ 是 $𝕂$ 上的向量空間．它们的外直和記作

𝑉 = 𝑉_{1} ⊞ \dots ⊞ 𝑉_{𝑛}

是這些向量空間的笛卡爾積：

𝑉 = {(𝒗_{1}, \dots, 𝒗_{𝑛}) | 𝒗_{𝑖} \in 𝑉_{𝑖}, 𝑖 = 1, \dots, 𝑛}

加以下加法和標量乘法：

加法：
$(𝒗_{1}, \dots, 𝒗_{𝑛}) + (𝒘_{1}, \dots, 𝒘_{𝑛}) = (𝒗_{1} + 𝒘_{1}, \dots, 𝒗_{𝑛} + 𝒘_{𝑛})$
標量乘法、對於 $𝑎 \in 𝕂$ ：
$𝑎 \cdot (𝒗_{1}, \dots, 𝒗_{𝑛}) = (𝑎 \cdot 𝒗_{1}, \dots, 𝑎 \cdot 𝒗_{𝑛})$

考慮到 $𝑛$ 元組 $(𝒗_{1}, \dots, 𝒗_{𝑛})$ 是從指標集到向量空間的映射 $𝑓 : {1, \dots, 𝑛} ∋ 𝑖 \mapsto 𝒗_{𝑖} \in 𝑉_{𝑖}$ ．上述定義可以泛化為任何向量空間族上．

定義 LA8.

直積

设 $ℱ︀ = {𝑉_{𝑖} | 𝑖 \in 𝐼}$ 是 $𝕂$ 上的向量空間族．它们的直积記作

\prod_{𝑖 \in 𝐼} 𝑉_{𝑖} ≔ {𝑓 : 𝐼 \to ⋃_{𝑖 \in 𝐼} 𝑉_{𝑖} | 𝑓 (𝑖) \in 𝑉_{𝑖}}

可视作從 $𝐼$ 到 $⋃ 𝑉_{𝑖}$ 函數空間的子空間．

爲什麼要叫內直和呢？因爲外直和是在外部從把數個向量空間拼成一個更大的向量空間．而內直和是將一個已有的向量空間內部分解成數個独立子空間的和．

定義 LA9.

內直和

如果 $ℱ︀ = {𝑆_{𝑖} | 𝑖 \in 𝐼}$ 是 $𝑉$ 的子空間族、如果满足以下两个条件、就称 $𝑉$ 为这些子空間的內直和、记为

𝑉 = ⨁_{𝑖 \in 𝐼} 𝑆_{𝑖} 或 𝑉 = ⨁ ℱ︀

$𝑉$ 是 $ℱ︀$ 的和
$𝑉 = \sum_{𝑖 \in 𝐼} 𝑆_{𝑖}$
凡 $𝑖 \in 𝐼$
$𝑆_{𝑖} \cap (\sum_{𝑗 \neq 𝑖} 𝑆_{𝑗}) = {𝟎}$

称 $𝑆_{𝑖}$ 為 $𝑉$ 的直和項．如果 $ℱ︀ = {𝑆_{1}, \dots, 𝑆_{𝑛}}$ 是有限集．直積得寫爲

𝑉 = 𝑆_{1} \oplus \dots \oplus 𝑆_{𝑛} .

若 $𝑉 = 𝑆 \oplus 𝑇$ 、則稱 $𝑇$ 為 $𝑆$ 的補．

註 .

注意條件 (2) 要強於謂

ℱ︀

不交．即

\forall 𝑖 \neq 𝑗 \in 𝐼, 𝑆_{𝑖} \cap 𝑆_{𝑗} = {𝟎}

．舉例來說．設

𝑉 = 𝗥^{2}

、

𝑆_{1} = {(𝑥, 0) | 𝑥 \in 𝗥}

、

𝑆_{2} = {(𝑥, 𝑥) | 𝑥 \in 𝗥}

．

𝑆_{3} = {(0, 𝑥) | 𝑥 \in 𝗥}

．即

𝑆_{1}

是

𝑥

軸、

𝑆_{2}

是

𝑦 = 𝑥

直綫、

𝑆_{3}

是

𝑦

軸．則

𝑉 = 𝑆_{1} + 𝑆_{2} + 𝑆_{3}

、且

𝑆_{𝑖} \cap 𝑆_{𝑗} = {𝟎}

對所有

𝑖 \neq 𝑗

成立．然而、

𝑉

不是

𝑆_{1}, 𝑆_{2}, 𝑆_{3}

的直和、因為

𝑆_{2} \cap (𝑆_{1} + 𝑆_{3}) = 𝑆_{2} \neq {𝟎}

．

註 .

子空間的和總是存在的、然而、直和更要求子空間之間獨立．所以子空間的直和不一定存在．

綫形組合

设 $𝑉$ 的非空子集 $𝑆$ 、對於 $𝒗_{𝑖} \in 𝑆$ 、 $𝑎_{𝑖} \in 𝕂$ 、稱式

𝑎_{1} 𝒗_{1} + \dots + 𝑎_{𝑛} 𝒗_{𝑛}

為 $𝑆$ 的綫形组合．其中 $𝑎_{𝑖}$ 稱為係數、如果係數全為 $0$ 、則稱平凡、根据向量的加法和标量乘法、綫形组合本身亦 $𝑉$ 的一个元素．考慮方程

𝑎_{1} 𝒗_{1} + \dots + 𝑎_{𝑛} 𝒗_{𝑛} = 𝟎

若存在非平凡綫形組合滿足方程、則稱 $𝑆$ 綫形相關．否則稱綫形獨立．

命題 LA11.

含

𝟎

的集合必綫形相关．

證 .

顯然．

∎

$𝑆$ 所有綫形組合之集合記作

span 𝑆 ≔ {\sum_{𝑖 = 1}^{𝑛} 𝑎_{𝑖} 𝒗_{𝑖} | 𝑎_{𝑖} \in 𝕂, 𝒗_{𝑖} \in 𝑆}

稱 $𝑆$ 為 $span 𝑆$ 的張集．又稱 $𝑆$ 張成 $span 𝑆$ ．至於有序的元组 $(𝒗_{𝑖})$ 、以加法的交换性、其綫形组合的值与其顺序无关、是故定义 $span (𝒗_{𝑖}) ≔ span {𝒗_{𝑖}}$ ．

命題 LA12.

span 𝑆

是

𝑉

於

𝕂

之子空間．

證 .

我們需要驗證 $𝑆$ 滿足子空間的三個條件：

$𝟎 \in 𝑆$ ：因為 $\forall 𝑎_{𝑖} = 0$ 、 $𝟎 = 0 \cdot 𝒗_{1} + \dots + 0 \cdot 𝒗_{𝑛} \in 𝑆$ ．
對於任意 $𝒖, 𝒗 \in 𝑆$ 、有 $𝒖 + 𝒗 \in 𝑆$ ：因為 $𝒖$ 和 $𝒗$ 都是 $𝑆$ 的綫形組合、所以它們的和亦 $𝑆$ 的綫形組合、因此 $𝒖 + 𝒗 \in 𝑆$ ．
對於任意 $𝒗 \in 𝑆$ 和 $𝑎 \in 𝕂$ 、有 $𝑎 𝒗 \in 𝑆$ ：因為 $𝒗$ 是 $𝑆$ 的綫形組合、所以 $𝑎 𝒗$ 亦 $𝑆$ 的綫形組合、因此 $𝑎 𝒗 \in 𝑆$ ．

因此、 $span 𝑆$ 是 $𝑉$ 的子空間．稱為 $𝑆$ 的張空間． $∎$

同一个向量可以有不同的綫形组合表示．现在思考如下的綫形组合：

1 𝒙 + 0 𝒚 + 3 𝒛

3 𝒙 + 3 𝒛 - 2 𝒙

他们自然是同一个向量、但是同一个綫形组合吗？从字符串的角度来看他们显然不同．但通过简单化简都能化成同一个綫形组合．再来考虑如果 $𝒚 = 𝒙 + 𝒛$ 、那么同一个向量亦能用 $0 𝒙 + 1 𝒚 + 2 𝒛$ 表示．但这个綫形组合无法直接化简成 $𝒙 + 3 𝒛$ 、与前两个显然不同．为了避免混淆这种雖同一个向量的綫形组合因为插入 0 项、拆项等造成的字符串排列不同而实际上相同的情况、我们引入下面的定义．

如果 $𝑉 ∋ 𝒗$ 可以唯一地表示為 $𝑆$ 的綫形組合

𝒗 = 𝑎_{1} 𝒗_{1} + \dots + 𝑎_{𝑘} 𝒗_{𝑘}

其中 $𝑖 \neq 𝑗 \to 𝒗_{𝑖} \neq 𝒗_{𝑗}$ 、 $𝑎_{𝑖} \neq 0$ ．则称之为本質唯一的綫形组合．

命題 LA13.

綫形无关的充要条件

向量集 $𝑆 \neq {𝟎}$ ．以下三命题等价：

$𝑆$ 綫形无关．
$span 𝑆$ 中非零向量皆是 $𝑆$ 的本質唯一綫形组合．
$𝑆$ 中任一向量皆非其余向量的綫形组合．

證 .

(1 $\Rightarrow$ 2)

𝟎 \neq 𝑎_{1} 𝒔_{1} + \dots + 𝑎_{𝑛} 𝒔_{𝑛} = 𝑏_{1} 𝒕_{1} + \dots + 𝑏_{𝑚} 𝒕_{𝑚}

其中各项系数皆非零、且向量皆不同．现在等号两端相减并合并同类项、得到

\begin{aligned} 𝟎 = & (𝑎_{𝑖_{1}} - 𝑏_{𝑗_{1}}) 𝒔_{𝑖_{1}} + \dots + (𝑎_{𝑖_{𝑘}} - 𝑏_{𝑗_{𝑘}}) 𝒔_{𝑖_{𝑘}} \\ + 𝑎_{𝑖_{𝑘 + 1}} 𝒔_{𝑖_{𝑘 + 1}} + \dots + 𝑎_{𝑖_{𝑛}} 𝒔_{𝑖_{𝑛}} \\ - 𝑏_{𝑗_{𝑘 + 1}} 𝒕_{𝑗_{𝑘 + 1}} - \dots - 𝑏_{𝑗_{𝑚}} 𝒕_{𝑗_{𝑚}} \end{aligned}

由于 (1) 成立、得知所有系数均为零、从而只有第一行的同类项、 $𝑛 = 𝑚 = 𝑘$ 并且 $𝑎_{𝑖_{𝑙}} = 𝑏_{𝑗_{𝑙}}$ 、 $𝒔_{𝑖_{𝑙}} = 𝒕_{𝑗_{𝑙}}$ 对所有 $𝑙 = 1, \dots, 𝑘$ 成立．

(2 $\Rightarrow$ 3) 使用反證法．假設 $𝑆 = {𝒔} ⊔ {𝒔_{1}, \dots, 𝒔_{𝑛}}$ 而

𝒔 = 𝑎_{1} 𝒔_{1} + \dots + 𝑎_{𝑛} 𝒔_{𝑛}

合並同類項後、因還可以綫形組合爲 $𝒔 = 1 𝒔$ 、必然牴觸於 (2) 而得證．

(3 $\Rightarrow$ 1) 使用反證法．假設 $𝑆 = {𝒔_{1}, \dots, 𝒔_{𝑛}}$ 綫形相關、方程

𝟎 = 𝑎_{1} 𝒔_{1} + \dots + 𝑎_{𝑛} 𝒔_{𝑛}

有非凡解、 $\exists 𝑎_{𝑘} \neq 0$

𝒔_{𝑘} = - \frac{1}{𝑎_{𝑘}} (𝑎_{1} 𝒔_{1} + \dots + 𝑎_{𝑘 - 1} 𝒔_{𝑘 - 1} + 𝑎_{𝑘 + 1} 𝒔_{𝑘 + 1} + \dots + 𝑎_{𝑛} 𝒔_{𝑛})

與 (3) 矛盾而得證． $∎$

命題 LA14.

Steinitz 交換引理

向量空間

𝑉

中、向量集

{𝒍_{1}, \dots, 𝒍_{𝑛}}

綫形无关、集

{𝒔_{1}, \dots, 𝒔_{𝑚}}

张成

𝑉

．然則存在

1 \leq 𝑖_{𝑛 + 1} < \dots < 𝑖_{𝑚} \leq 𝑚

、而集合

{𝒍_{1}, \dots, 𝒍_{𝑛}, 𝒔_{𝑖_{𝑛 + 1}}, \dots, 𝒔_{𝑖_{𝑚}}}

張成

𝑉

．

證 .

當 $𝑛 = 0$ 時、顯然成立．我們對 $𝑛$ 使用數學歸納法．假設對於 $𝑛 - 1$ 成立、即 ${𝒍_{1}, \dots, 𝒍_{𝑛 - 1}, 𝒔_{𝑖_{𝑛}}, \dots, 𝒔_{𝑖_{𝑚}}}$ 張成 $𝑉$ ．現在考慮 $𝑛$ ． ${𝒍_{1}, \dots, 𝒍_{𝑛}}$ 綫形独立、 $𝒍_{𝑛}$ 非零、故能表示為 $𝒍_{1}, \dots, 𝒍_{𝑛 - 1}, 𝒔_{𝑖_{𝑛}}, \dots, 𝒔_{𝑖_{𝑚}}$ 的非平凡綫形組合

𝒍_{𝑛} = 𝑎_{1} 𝒍_{1} + \dots + 𝑎_{𝑛 - 1} 𝒍_{𝑛 - 1} + 𝑎_{𝑛} 𝒔_{𝑖_{𝑛}} + \dots + 𝑎_{𝑚} 𝒔_{𝑖_{𝑚}}

$𝑎_{𝑛}, \dots, 𝑎_{𝑚}$ 非爲全 $0$ , 謂存在 $𝑘 \in [𝑛, 𝑚], 𝑎_{𝑘} \neq 0$ ．否则上式只余 $𝒍_{1}, \dots, 𝒍_{𝑛}$ 诸项、与其綫形独立性矛盾．

從而

𝒔_{𝑖_{𝑘}} = \frac{1}{𝑎_{𝑘}} (- 𝑎_{1} 𝒍_{1} - \dots - 𝑎_{𝑛 - 1} 𝒍_{𝑛 - 1} + 𝒍_{𝑛} - \dots - 𝑎_{𝑘 - 1} 𝒔_{𝑖_{𝑘 - 1}} - 𝑎_{𝑘 + 1} 𝒔_{𝑖_{𝑘 + 1}} - \dots)

任何向量 $𝒗 \in 𝑉$ 可表示為 $𝒍_{1}, \dots, 𝒍_{𝑛 - 1}, 𝒔_{𝑖_{𝑛}}, \dots, 𝒔_{𝑖_{𝑚}}$ 的綫形組合、并代入上式得

\begin{aligned} 𝒗 = & 𝑏_{1} 𝒍_{1} + \dots + 𝑏_{𝑛 - 1} 𝒍_{𝑛 - 1} + 𝑏_{𝑛} 𝒔_{𝑖_{𝑛}} + \dots + 𝑏_{𝑘} 𝒔_{𝑖_{𝑘}} + \dots + 𝑏_{𝑚} 𝒔_{𝑖_{𝑚}} \\ = & (𝑏_{1} - 𝑎_{1} \frac{𝑏_{𝑘}}{𝑎_{𝑘}}) 𝒍_{1} + \dots + (𝑏_{𝑛 - 1} - 𝑎_{𝑛 - 1} \frac{𝑏_{𝑘}}{𝑎_{𝑘}}) 𝒍_{𝑛 - 1} + \frac{𝑏_{𝑘}}{𝑎_{𝑘}} 𝒍_{𝑛} \\ + (𝑏_{𝑛} - 𝑎_{𝑛} \frac{𝑏_{𝑘}}{𝑎_{𝑘}}) 𝒔_{𝑖_{𝑛}} + \dots + (𝑏_{𝑘 - 1} - 𝑎_{𝑘 - 1} \frac{𝑏_{𝑘}}{𝑎_{𝑘}}) 𝒔_{𝑖_{𝑘 - 1}} \\ + (𝑏_{𝑘 + 1} - 𝑎_{𝑘 + 1} \frac{𝑏_{𝑘}}{𝑎_{𝑘}}) 𝒔_{𝑖_{𝑘 + 1}} + \dots + (𝑏_{𝑚} - 𝑎_{𝑚} \frac{𝑏_{𝑘}}{𝑎_{𝑘}}) 𝒔_{𝑖_{𝑚}} \end{aligned}

其中索引重排列为

𝑖_{𝑙}^{'} = {\begin{cases} 𝑖_{𝑙 - 1} & if 𝑙 \leq 𝑘 \\ 𝑖_{𝑙} & if 𝑙 > 𝑘 \end{cases}

于是、尋得 $1 \leq 𝑖_{𝑛 + 1}^{'} < \dots < 𝑖_{𝑚}^{'} \leq 𝑚$ 从而 $span {𝒍_{1}, \dots, 𝒍_{𝑛}, 𝒔_{𝑖_{𝑛 + 1}^{'}}, \dots, 𝒔_{𝑖_{𝑚}^{'}}} = 𝑉$ 、命題於 $𝑛$ 成立． $∎$

命題 LA15.

推論 1

向量集

𝐿

綫形无关、集

𝑆

张成

𝑉

．然則

| 𝐿 | \leq | 𝑆 |

．

基

向量集 $𝐵$ 稱為向量空間 $(𝑉, 𝕂)$ 的基集、簡稱基、若

$𝐵$ 張成 $𝑉$ ；
$𝐵$ 綫形無關．

命題 LA16.

推論 2

𝑉

有有限張集、

𝐵_{1}, 𝐵_{2}

为基、则

| 𝐵_{1} | = | 𝐵_{2} |

．

證 .

由於

𝐵_{1}

張成

𝑉

、而

𝐵_{2}

綫形無關、依命題 LA14 知

| 𝐵_{2} | \leq | 𝐵_{1} |

．又

𝐵_{2}

張成

𝑉

、而

𝐵_{1}

綫形無關、亦可得

| 𝐵_{1} | \leq | 𝐵_{2} |

．乃知

| 𝐵_{1} | = | 𝐵_{2} |

．

∎

命題 LA17.

向量空間

𝑉

的基都同势．

因此、向量空間之基也勢皆相等、稱為維度． $𝑉$ 的維度記爲 $dim 𝑉$ ．

命題 LA18.

基的性质

$𝑉$ 是綫形空間、然則下列命题等价:

$𝐵$ 是 $𝑉$ 的基．
$𝑉$ 所有非零向量皆是 $𝐵$ 的本質唯一綫形组合．
$𝐵$ 是 $𝑉$ 的最小張集．
$𝐵$ 是 $𝑉$ 的最大綫形無關集．

證 .

(1 $\Leftrightarrow$ 2) 由命題 LA13 (2) 知、命题成立．

(1 $\Rightarrow$ 3) 根据定义、我们知道 $𝐵$ 是 $𝑉$ 的張集、然後我們來證明、他是最小的．

$∎$

命題 LA19.

$𝑉$ 是有限维綫形空間、 $𝑆$ 是向量集合． $| 𝑆 | = dim 𝑉$ ．則

$𝑆$ 張成 $𝑉$ ．
$𝑆$ 綫形獨立．

等價．

證 .

$(1 \Rightarrow 2)$: 設 $𝑆$ 綫形相關、則 $\exists 𝒔 \in 𝑆$ 、使得 $𝒔$ 可以 $𝑆^{'} = 𝑆 ∖ {𝒔}$ 之綫性組合表示．則 $𝑆^{'}$ 張成 $𝑉$ 、且 $| 𝑆^{'} | = dim 𝑉 - 1$ ． $𝑆^{'}$ 是比基更小的張集、矛盾．
$(2 \Rightarrow 1)$: 設 $𝑆$ 不張成 $𝑉$ 、則存在 $𝒗 \in 𝑉$ 、使得 $𝒗 \notin span 𝑆$ ．則 $𝑆^{'} = 𝑆 ⊔ {𝒗}$ 綫性獨立、且 $| 𝑆^{'} | = dim 𝑉 + 1$ ． $𝑆^{'}$ 是比基更大的綫形獨立集、矛盾．

$∎$

命題 LA20.

$𝑉$ 是非 ${𝟎}$ 向量空間． $𝐿$ 是 $𝑉$ 中的綫形無關集、 $𝑆$ 是 $𝑉$ 的張集． $𝐿 \subseteq 𝑆$ ．則有基 $𝐵$ 、使得 $𝐿 \subseteq 𝐵 \subseteq 𝑆$ ．即

任何非 ${𝟎}$ 向量空間有基．
任何綫形無關集皆含於某基中．
任何張集皆含有某基．

證 .

假設 $𝒜︀$ 是 $𝑉$ 中所有含 $𝐿$ 且含於 $𝑆$ 的綫形無關集之集族．以包含關係為偏序．因 $𝐿 \in 𝒜︀$ 知其非空．設

𝒞︀ = {𝐿_{𝑖} | 𝑖 \in 𝐼}

是

𝒜︀

上的鎖．

𝑈 = ⋃ 𝒞︀

綫形獨立、且

𝐿 \subseteq 𝑈 \subseteq 𝑆

、即

𝑈 \in 𝒜︀

．故

𝒜︀

每條鎖皆有上界．由 Zorn 引理、知

𝒜︀

有極大元

𝐵

．我們來證明

𝐵

是基．若

𝒔 \in 𝑆

但

𝒔 \notin span 𝐵

、則

𝐵 ⊔ {𝒔}

綫性獨立、且

𝐿 \subseteq 𝐵 ⊔ {𝒔} \subseteq 𝑆

、則

𝐵

非極大．故得

𝑆 \subseteq span 𝐵

、並有

𝑉 = span 𝑆 \subseteq span 𝐵

∎

命題 LA21.

向量空間 $𝑉$ 的有限子集 $𝑆 = {𝒗_{1}, \dots, 𝒗_{𝑛}}$ 是基．若且唯若

𝑉 = span {𝒗_{1}} \oplus \dots \oplus span {𝒗_{𝑛}}

論見